2008,印度国家队选拔考试

设正实数 $a、b、c$ 满足 $a^2+b^2+c^2<2(a+b+c).$ 证明：

$$3abc<4(a+b+c)$$

证法1

\qquad 由柯西不等式知 $(a+b+c{)}^2\le 3(a^2+b^2+c^2).$

\qquad 于是，$a+b+c<6$，且有 $\frac{(a+b+c{)}^3}{9}<4(a+b+c)$

\qquad 由均值不等式得 $(a+b+c{)}^3\ge 27abc.$

\qquad 故 $3abc\le \frac{(a+b+c{)}^9}{9}<4(a+b+c)$

证法2 \qquad

\qquad 由证法$1$得 $a+b+c<6$. 于是，$a^2+b^2+c^2<2(a+b+c)<12.$

\qquad 故 $(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)<12(a+b+c).$

\qquad 由均值不等式得 $a^2+b^2+c^2\ge 3(abc{)}^{\frac{2}{3}},a+b+c\ge 3(abc{)}^{\frac{1}{3}}.$

\qquad 故 $9abc\le (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)<12(a+b+c).$

\qquad 因此，结论成立