[2019赛前冲刺]考试技巧及模版(第二部分)
本博客是该模板的第二部分
注:由于编者太弱，以下知识可能仅仅只是给自己写的，对dalao没有任何参考价值，请谅解。
文章目录
- 4.数据结构相关
- 4.1 线段树
- 4.1.1 线段树维护与查询技巧
- 4.1.2 可持久化线段树
- 4.1.3 线段树合并
- 4.2 树链剖分
- 4.3 莫队/分块
- 4.3.1 分块
- 4.3.2 莫队
- 4.4 启发式合并/长链剖分
- 4.5 树状数组/CDQ分治/K-D树
- 4.5.1 树状数组
- 4.5.2 CDQ分治
- 4.5.3 K-D树
- 5.字符串相关
- 5.1 hash
- 5.1.1 普通hash
- 5.1.2 RK-hash
- 5.2 manacher算法
- 5.3 KMP算法
- 5.4 AC自动机
- 5.5 后缀自动机
- 6.计算几何相关
- 6.1 叉积与点积
- 6.2 点，直线与圆的位置
- 7.非传统题相关
- 7.1 提交答案型
- 7.1.1 最优型问题(NP)
- 7.1.2 构造型问题
- 7.1.3 计算型问题
- 7.2 交互型
- 8.细节相关
- END
4.数据结构相关
4.1 线段树
4.1.1 线段树维护与查询技巧
众所周知我们可以打标记维护信息。
1.当操作较多时，打标记就非常恶心，例如
考虑用形如
[ A B . . . s i z ] \begin{bmatrix} A\\ B\\ ...\\ siz\\ \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡AB...siz⎦⎥⎥⎤
的矩阵维护，其中 A A A, B B B,…均为标记。
将转移写成一个 k × k k×k k×k的矩阵，可以使用矩阵乘法快速维护。
例题:「THUSCH 2017」大魔法师
2.当区间数值过大或者是浮点数时，考虑使用离散化。
使用sort,unique,lower_bound等函数几步搞定。
例题:光线追踪
3.当需要维护多颗线段树时，将线段树打成struct,特别是线段树之间信息对传的情况，一定要冷静调试…
例题:[YL2019 day2]two
4.1.2 可持久化线段树
没怎么深入学过…
只会板题qwq
#include4.1.3 线段树合并
顾名思义，就是将两个线段树合并起来。
常用于一些比较麻烦的子树问题。
注意空间通常要开到50倍。
模板:[HNOI2012]永无乡
#include4.2 树链剖分
本身概念很简单，然而…
这代码长度…[令人感动]
模板:
#include4.3 莫队/分块
4.3.1 分块
神奇 O ( n n ) O(n\sqrt{n}) O(nn)算法。
需要注意的是，当询问和插入复杂度不均等时,我们可以调整块的大小以平衡复杂度，这种方法叫均值法。可以用方程求解。
块上暴力维护很多操作都十分方便,例如在上面维护有序数列，凸包,dp数组等，仅仅是复杂度的问题…
4.3.2 莫队
基于 O ( n n ) O(n\sqrt{n}) O(nn)分块的离线询问神器。
适用于任何离线的，区间 [ l , r ] [l,r] [l,r]与每次改变一个单位长度的区间有联系(或较低复杂度转移关系)的一切问题。
例题：[BZOJ3809]Gty的二逼妹子序列 分块+莫队
#include4.4 启发式合并/长链剖分
简单来说就是将权值较大的子树和他的父亲共用一个 d p / dp/ dp/统计数组。
与子树大小有关的用树上启发式合并。与深度有关的用长链剖分。
CF600E Lomsat gelral
先直接暴力统计以轻儿子为根的子树内的答案并清空，再统计以轻儿子为根的子树内的答案并保留，最后再次dfs一遍轻儿子并把答案加上，合并到父亲中。
复杂度玄学一般地就是: O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)
#include[POI2014]HOT-Hotels加强版
哲学指针优化…
f [ u ] [ i ] f[u][i] f[u][i]表示 u u u子树里距离 u u u为 i i i的节点个数
g [ u ] [ i ] g[u][i] g[u][i]表示 u u u子树里两个点 x , y x,y x,y到其 L C A LCA LCA的距离都是 d d d, L C A LCA LCA到 u u u的距离是 d − i d−i d−i的方案数
有
g [ u ] [ i ] = ∑ v g [ v ] [ j + 1 ] + f [ u ] [ i ] ∗ f [ v ] [ i − 1 ] g[u][i]=\sum_vg[v][j+1]+f[u][i]*f[v][i-1] g[u][i]=∑vg[v][j+1]+f[u][i]∗f[v][i−1]
f [ u ] [ i ] = ∑ v f [ v ] [ i − 1 ] f[u][i]=\sum_vf[v][i-1] f[u][i]=∑vf[v][i−1]
注意到当一个节点只有一个时:
g [ u ] [ i ] = g [ v ] [ j + 1 ] g[u][i]=g[v][j+1] g[u][i]=g[v][j+1]
f [ u ] [ i ] = f [ v ] [ i − 1 ] f[u][i]=f[v][i-1] f[u][i]=f[v][i−1]
可以用指针转移实现 O ( 1 ) O(1) O(1)。
每个节点选择深度最大的那一个点转移即可。
注意到每一个点都属于一个长链，而一条长链中的所有节点都可以 O ( 1 ) O(1) O(1)转移，只有在链顶才会 O ( 该 链 长 度 ) O(该链长度) O(该链长度)地暴力转移。
因此复杂度: O ( 2 ∑ 链 长 度 ) = O ( n ) O(2\sum 链长度)=O(n) O(2∑链长度)=O(n)
#include更多例题:CF 741D Arpa’s letter-marked tree and Mehrdad’s Dokhtar-kosh paths[将回文操作转为二进制，从而变成异或运算，启发式合并统计]
4.5 树状数组/CDQ分治/K-D树
显然这一部分要说的是二维数点问题
离线:CDQ分治,树状数组
强制在线:K-D树
小技巧:强制在线可加一维时间变成离线问题
4.5.1 树状数组
相信都会…这里就…
int lowbit(int x)
{return x&(-x);}
void Insert(int x,LL num)
{while(x<=n)C[x]+=num,x+=lowbit(x);}
LL Sum(int x)
{LL sum=0;while(x>0)sum+=C[x],x-=lowbit(x);return sum;}
4.5.2 CDQ分治
二维偏序是将第一位维好序，求逆序对。
三维偏序就是在判断时加个树状数组即可。
归并排序不用写了吧qwq…
4.5.3 K-D树
又一种玄学数据结构.
复杂度 O ( n n ) O(n\sqrt{n}) O(nn)
然而很容易不平衡，一旦不平衡就要暴力重构。
然而自己太弱只有一个不重构的…
#include再来一道‘简单题’
对于修改操作,都可以视作插入一个点,同样,如果插入后导致KD-Tree不平衡,就要暴力重建.
对于查询操作,我们可以维护每一棵子树中所有点x和y坐标的最大/最小值,如果当前子树整棵树都在当前查询矩形内,就可以直接返回这棵子树中的权值和.如果当前子树整棵树都不在当前查询矩形内,就可以直接返回0.否则,先查询当前节点代表的点是否在查询矩形中,然后递归查询当前节点的两个子节点.
没时间打了qwq
5.字符串相关
5.1 hash
5.1.1 普通hash
int get_hash(int val)
{
for(int i=0;i<Hs[val%MOD].size();i++)
if(Hs[val%MOD][i].FR==val)return Hs[val%MOD][i].SE;
return 0;
}
void hash_ins(int val)
{
for(int i=0;i<Hs[val%MOD].size();i++)
if(Hs[val%MOD][i].FR==val){Hs[val%MOD][i].SE++;return ;}
Hs[val%MOD].push_back(make_pair(val,1));
}
5.1.2 RK-hash
又叫滚动hash,和二分套在一起可以解决很多问题。
技巧:找一个不太常见的大质数。
例如 900000011 900000011 900000011, 1000000123 1000000123 1000000123。
LL prep[MAXN+5],rhash[MAXN+5];
LL get_hash(int l,int r)
{
long long p=(rhash[l]-1LL*rhash[r+1]*prep[r-l+1]%MOD)%MOD;
p=(p+MOD)%MOD;return p;
}
int main()
{
prep[0]=1;
for(int i=1;i<=MAXN;i++)
prep[i]=(1LL*prep[i-1]*CHSIZ)%MOD;
rhash[n+1]=0;
for(int i=n;i>=0;i--)
rhash[i]=(rhash[i+1]*CHSIZ+s[i]-'a'+1)%MOD;
}
经典例题:[NOI2016]优秀的拆分
#include5.2 manacher算法
#include5.3 KMP算法
#include有关KMP的结论:len-next[i]为此字符串的最小循环节(i为字符串的结尾)，另外如果 l e n ≡ 0 ( m o d l e n − n e x t i ) len\equiv 0(\mod len-next_i) len≡0(modlen−nexti),此字符串的最小周期就为 l e n l e n − n e x t i \frac{len}{len-next_i} len−nextilen。
5.4 AC自动机
模板:Keywords Search
#include经典例题:[HDU]考研路茫茫――单词情结
将AC自动机所构成的Tire图化为邻接矩阵。 k k k次行走相当于矩阵的 k k k次方。矩阵快速幂即可
#include2.Wireless Password [AC自动机上dp入门]
定义 d p [ i ] [ j ] [ S ] dp[i][j][S] dp[i][j][S]为串长为 i i i,现在在AC自动机上匹配到位置 j j j,已经有 S S S状态的字符完成匹配的方案数。
直接dp即可
#include5.5 后缀自动机
考虑到题目都几乎不可做就弃掉了
6.计算几何相关
并没有深入地学过…
写点最基础的公式就跑吧…
感觉三年初中废了
6.1 叉积与点积
叉积：对于所有 u , v ∈ R 3 u, v ∈ \R^3 u,v∈R3，定义： u × v = ( ∣ u ∣ ∣ v ∣ sin θ ) u × v = (|u||v|\sin θ) u×v=(∣u∣∣v∣sinθ)其中 θ 为 u v 之间的夹角，n 为垂直于 u v 所在平面的单位。
点积：对于任意两个向量 u, v，定义： u ⋅ v = ∣ u ∣ ∣ v ∣ c o s θ u · v = |u||v| cos θ u⋅v=∣u∣∣v∣cosθ。
6.2 点，直线与圆的位置
两线段 A B AB AB, C D CD CD
规范相交：两线段的交点严格在线段内部（与线段端点不相交）
( C B ⃗ × C D ⃗ ) ( C A ⃗ × C D ⃗ ) < 0 (\vec{CB} ×\vec{CD})(\vec{CA} ×\vec{CD})<0 (CB×CD)(CA×CD)<0
( A D ⃗ × A B ⃗ ) ( A C ⃗ × A B ⃗ ) < 0 (\vec{AD} ×\vec{AB})(\vec{AC} ×\vec{AB})<0 (AD×AB)(AC×AB)<0
非规范相交：两线段交点在端点上，在规范相交的基础上判断某条线
段的端点是否在另一线段上。
点 P P P 与直线 A B AB AB
距离: d i s t ( P , A B ) = ∣ A B ⃗ × A P ⃗ ∣ ∣ A B ∣ dist(P, AB) = \frac{|\vec{AB}×\vec{AP}|}{|AB|} dist(P,AB)=∣AB∣∣AB×AP∣
其它都没学过…
求公切线：如下图，先求出旋转角度，然后移动向量。
![[2019赛前冲刺]考试技巧及模版(第二部分)_第1张图片](http://img.e-com-net.com/image/info8/84755d8390aa436eb0fc8683a73530d9.jpg)
于是就有了…「THUSC2017」宇宙广播
[感觉自己菜爆了]
7.非传统题相关
7.1 提交答案型
今年估计又有两道提交答案…
7.1.1 最优型问题(NP)
大多数情况都是问你一个NP问题，求较优解。
写过一道简单提答的题解[NOI2008]赛程安排
也写过「THUWC 2017」大葱的神力算是THU中最简单的一道提交答案题吧…然而搞了将近3个小时的 8 − 10 8-10 8−10还是只有83分…[我好菜啊…]
这两道都属于NP问题，总体来说这类问题都相对简单，常常用来送分，但是满分却又是不可能的事。
常见骗分方法:
- 输出一个符合题意的答案，通常得1分。
- 伪造一个看起来十分不靠谱的贪心，通常得3~7分不等。
- 观察数据的特性，或者使用电脑跑程序分析。
- 将一些问题的限制调小，转化成原来的数据，通常得8~10分不等。
常见算法:模拟退火，爬山算法，网络流，图论相关算法等。
7.1.2 构造型问题
常见的问法有:
- 给你
exe文件，写出源文件。给你输出，还原输入。 - 给你几种操作，通过计算或下发的文件，构造出能够让任务成功的方案，通常会限制操作次数。
[蒟蒻做的题太少了qwq]
例如[NOI2016]旷野大计算，就是一道经典的构造型问题。
许多构造题都有逆向思维，只有多练才可能有进步。
这种题一般是只能够按照题目要求来骗分的。
当然也要更加仔细的观察数据特点了。
所以也只能凭rp了qwq.
7.1.3 计算型问题
「THUSC2017」宇宙广播一道经典的计算型提交答案。
一般都和提交答案本身没什么关系。唯一的特点就是它的输入文件我们是可以看见的。而这种题目大多会有多个测试数据，或许我们无法解决整个测试点，但是我们可以观察一小个测试点的特性从而骗分。
7.2 交互型
一类非常有趣的题型。
在OI中，交互题的难度一般不会太高。
通常涉及概率，随机化，或数据结构等。
然而调试起来特别麻烦，所以一定要注意。
例题:硬币翻转
老虎最近沉迷一个翻硬币游戏。
在游戏中，老虎有 100 枚硬币，每次老虎可以选择一枚硬币，并改变其状态——在正面朝上和背面朝上间发生变化。显然，老虎和蒜头的关注点并不一样。蒜头在思考这样的一个游戏：蒜头会持有 100 枚不同的硬币，老虎每次可以给蒜头一个硬币的正反序列来猜测硬币的状态，随后蒜头会告诉老虎他猜对了多少枚硬币，并在 100 枚硬币中等概率选择一枚硬币。若老虎这一轮猜对了这枚硬币，它就会被翻转。老虎的目标是，在某一次完全猜对蒜头的硬币序列，也就是蒜头告诉老虎的答案会是 100。
你能帮助老虎完成这个问题吗?
询问次数限制:200次
一道简单题。
一个显然的想法就是先将答案缩减为0，然后整体翻转一下，就达到了目标。
由于蒜头每次都会翻转一个猜对的硬币，因此不断问同一个硬币序列，总能够使答案为0。注意到题目说蒜头是在全部硬币中选一个翻转，因此在猜对硬币较少时概率会很小。
考虑利用概率小这个性质，我们每次改变一个位置 i i i,如果它现在这个位置猜对,那么它会有 1 n \frac{1}{n} n1被翻过来，否则就不会猜对，且猜对个数减1。那么这样的概率就非常小了。
#include "coin.h"
#include 8.细节相关
- 注意全局变量在递归函数时使用时最要用一个临时变量存起来。
register int,inline大法好。- 一些较为难拼读的单词:
priority_queue,operator,unordered_map(不过我认为不会用…),Dijkstra(不明白我为什么会觉得它难拼…),automaton,sterling
万一哪天脑抽忘掉了呢qwq - 二分注意边界问题。
- [待填]
END
终于没了，一口气写完居然没猝死…
三次考试总分能上200就好…