金华集训正睿Day2 分治&图论&字符串

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讲课

1.分治

common分治

也就是对于每个子问题，在中间划一刀，然后分成两段，把区间中从mid开始维护一些奇奇怪怪的值，一般来说是最大前后缀、最小前后缀什么的。在中间的交集处理完毕后开始递归两边。总的来说就是乱搞

• 切mid
• 处理越过mid的答案，统计
• 递归解决

二分

分数规划

普通二分学的好好地，突然开始鬼畜。

分数规划问题，统计值形为分式的表达式最值，一通转换后获得一个便于维护的表达式。

• 维护$\frac{a[i]}{b[i]}$最大
• $\frac{a[i]}{b[i]}>=mid$
• $a[i]>=mid\ast b[i]$
• $a[i]-mid\ast b[i]>=0$

对就是这玩意。

然后就能开始乱搞了

最小区间圆覆盖

挂、、、

整体二分

例题询问第k大

二分答案<=mid的数有没有k个。

但好像不止如此，同学博客目前没看到解释的很清楚的，挂了挂了

cdq分治

听说精髓就是考虑左边对右边的贡献，它可以处理各种缺1缺点缺边缺答案缺正解（？？？）问题。

太过玄妙没有听谢谢

点分治

点分治效率优秀，无怪乎它找了重心作为起点，不然铁定是要T飞的。

区间上的分治找到一个中心点，处理了跨区贡献后递归子问题，而点分治的精髓也在于分治，将数据规模减小，每次递归成为子树的问题，边界处理没有问题。

是的，每次以重心为界处理并递归下每颗子树，重新求解重心，重新计算，看起来与区间分治差别不大的样子呢。

关于它与树形dp之间有一些共性，因为都是在节点上处理与子树的关系。但一般来说，树形dp的题多是可以用点分治解决，而点分治得问题自是麻烦些，但好像也是可以由树形dp解决。

个人而言，点分治这个算法最近才接触，树形dp相对而言熟悉些，更加熟练，但是点分治熟练掌握是十分重要的。

时间分治

刚才dls讲了一下，时间分治中，因为添加、删除很麻烦，所以用另一种方法：按时间。时间轴中，某值在[l,r]区间内存在。 这做法真令人头秃，这tm也能分治？

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2.图论

- 1.最短路变种：

也就是动态删边删点最短路

• 动态删边。如果该边不在最短路径上不用管，如果在的话寻找最小替代，从断点处x，y,用dis[1,x]+dis[x,y]+dis[y,n]更新替代？？

看起来是这么一回事，老师讲的没怎么听懂，这是我自己的理解。话说这题貌似是用cdq分治搞啊（算了不管了）

• 动态删点。对于该点不在路径上的情况依然不用考虑。而不在则寻找最小替代。题目中多出一个无环的条件，这题要

- 2.例1。

题目：给定⼀张有向带正权拓扑图，求有⼏条 1 到 N 的路径的长度<= 1 到 N 的最短路+K

暴力&正解：

• $设f[x][L]表示1x路径长度为L$
• $f[x][L]->f[$
• $要求L+dis(x,n)-dis(1,n)<=k;$
• $dis(1,n)<=dis(x,n)+dis(1,x)$
• $L+dis(x,n)-(dis(1,x)+dis(x,n))<=k$
• $L-dis(1,x)<=k$
• $dis(1,x)<=L<=dis(1,x)+k$
• $对于第二维L，有效取值只有k+1种$
• $所以f[x][L-dis(1,x)]$(0~k)
• $路径长度dis(1,x)+v;$
• $f(x,v)->f(y,dis(1,x)+v+w(x,y)-dis(1,y))$
• $求f[N][dis(1,n)\dots \dots dis(1,n)+k]$

- 3.最短路变种2（删点）:

？？：

• 1.对于所有边，求出长度L，[sl,sr]线段树维护最小值
• 2.L=dis(1,x)+dis(y,n)+w

- 4.三元环计数：

1。

• 1.大小点：？？？

• 2.设原图为G[x]:d[1…n]

• 排序,关键字(d[i],i）,求每个点是第几小。

• D[x]:(x,y)

• 如果rank[x]y

• else rank[x]>rank[y]: y->x

• |D[x]|<=sqrt(m)

伪代码（核心部分）：

for 1 to x do 
 if (y∈D[x])res[y]=1;
for y∈D[x] do  
 for z∈D[y] do
   ans+=res[z];

- 5.四元环计数

for x=1 to n // n
 for y∈G[x] 
  for z∈D[y] 
   if(rank[x]

- 6.例子

题目：你现在很想知道⼀个数列 A[1…N] 是啥，但是需要花费代
价去获取情报，你可以花费 Cost[L][R] 的值去得到 A[L…R]
的和，给定 Cost，求最少花费多少代价才能确定 A[1…N]
• N<=1000，Cost[L][R]<=10^9

解：

• 知道A[l…r]也就是知道S[r]-S[l-1]的值，（S为前缀和数组）
• 每次将l-1与r连边，表示可以互相推得。
• 要知所有关系，则将所有边加入后做一遍最小生成树，（因为要与1号相连）

prufer序列

表示一棵无根树与序列一一对应的关系。

• 构造：每次找到一棵最小的叶子，删去后加入与其相连的点到prufer序列中，直到最后只有两点。
• 用prufer序还原树的步骤：对于prufer序从前往后，每次找一个之后的prufer序中没有出现过且之前没有标记过的最小的节点，标记这个点，和当前prufer序的这个点连边，最后找两个度数不够的点，把他们连起来（其实就是顺着做prufer序的过程连边）。
• 容易得知，序列中出现次数+1就是该点度数。

欧拉回路

二分图

判断奇环，判断偶环

Hall引理

7.边的染色

8.练习题

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3.字符串

KMP字符匹配

寻找最小循环节,(n-fail[n]也是循环节,s[1]=s[n-fail[n]+1])，也就是最长相等的前后缀。

• 寻找最小的P，使得s[i]=s[i-p];
• 纯循环节：n是n-fail[n]的倍数

例题

• 1. 给定⼀个字符串 S，对于每个前缀S[1…i]求出：有⼏对前后缀相等且
  不重叠. |S|<=1000000

• 2. 给定⼀个 m 位数字串 S，求有⼏个⻓度为 n 的字符串 T，满⾜ S 不
  是他的⼦串. m<=20. n<=10^9

• 3. 有⼀个串 S，给定 S[1…i] 的最⼩循环节 d[i]，构造⼀个字典序最⼩的
  S. |S|<=10^6

• 4. 有⼀个串 S，定义⼀个优秀的拆分是将⼀个串表示成 AABB 的形式，
  求 S 的所有连续⼦串的优秀的拆分的个数之和. |S|<=2000

• 5. AC自动机

后缀数组

挂掉……[哭卿卿]

$\frac{n\ast (n+1)}{2}-{\sum }_{i=1}^{n-1}h[i]$