吉林大学ACM集训队选拔赛

吉林大学ACM集训队选拔赛题解

A. 777【1-n中数字d出现的次数】

题目

给定一个数$n$，判断在$[0,n]$中数字7出现的次数，结果模上$1e9+7$

$n\le 10^{100000}$

题解

因为数字非常大，所以采取分析规律的方式按位处理

假设是一个5位数，只考虑百位为7的情况，可分3种情况讨论：

1. 百位数字$>7(31856)$时，有以下情况满足（记$a=312,b=56$）

   $$\begin{gathered} 700-799 \\ 1700-1799 \\ \cdots \\ 30700-30799 \\ 31700-31799 \end{gathered}$$

   因此，百位为8的5位数字，共有$(\frac{a+1}{10})\ast 100$个满足条件

2. 百位数字$=7(31756)$时，有以下情况满足（记$a=317,b=56$）

   $$\begin{gathered} 700-799 \\ 1700-1799 \\ \cdots \\ 30700-30799 \\ 31700-31756 \end{gathered}$$

   因此，百位为7的5位数字，共有$(\frac{a}{10})\ast 100+(b+1)$个

3. 百位数字$<7(31056)$时，有以下情况满足（记$a=310,b=56$）

   $$\begin{gathered} 700-799 \\ 1700-1799 \\ \cdots \\ 30700-30799 \end{gathered}$$

   因此，百位为0的5位数字，共有$(\frac{a}{10})\ast 100$个满足条件

有了如上数字规律后，就可以从高到低对每一位进行统计即可

代码

#include 
using namespace std;
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define endl '\n'
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 1e5 + 10;
int fac[maxn], num[maxn];

void init()
// 预处理10^n
{
	fac[0] = 1;
	for (int i = 1; i < maxn; i++) {
		fac[i] = 10ll * fac[i - 1] % mod;
	}
}

int solve(string &s)
{
	int n = s.size();
	int ans = 0;	// 最终结果
    int sum = 0;	// 字符串的高位部分（也就是题解中的a，因为循环从高位开始，所以一直更新a就可以）
	num[n] = 0;		// 字符串后i位对应的数值（低位部分，也就是题解中的b）
	for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {	// 预处理b
		num[i] = (1ll * (s[i] - '0') * fac[n - i - 1] + num[i + 1]) % mod;
	}
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		if (s[i] == '7') {
			ans = (ans + 1ll * sum * fac[n - i - 1]) % mod;
			ans = (ans + 1ll * (num[i + 1] + 1)) % mod;
		}
		else if (s[i] < '7') {
			ans = (ans + 1ll * sum * fac[n - i - 1]) % mod;
		}
		else {
			ans = (ans + 1ll * (sum + 1) * fac[n - i - 1]) % mod;
		}
		sum = (10ll * sum + s[i] - '0') % mod;
	}
	return ans;
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
	int q; cin >> q;
	init();
	while (q--) {
		string s; cin >> s;
		cout << solve(s) << endl;;
	}
	return 0;
}

B. Subset of Five【DP】

题目

集合$A$中有$n$个元素$\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$，取出一个子集$B$，要求$B$中元素之和最大且$\%5=0$

题解

显然，这是一个多段决策问题。

定义$sum[i][5]$：前$i$个数在余数为$j$时的最大和

假设第$i$个元素$a[i]\%5=tmp$，分别对$sum[i-1][j]$共5个状态进行转移，每个状态转移到的新状态就是$sum[i][(j+tmp)\%5]$

for (int j = 0; j < 5; j++) {	// 处理第i个数
    if (sum[i - 1][j]){	
        sum[i][(j + tmp) % 5] = max(sum[i - 1][j] + a[i], sum[i][(j + tmp) % 5]);
    }
}
for(int j = 0; j < 5; j++){	// 第i个数处理完后，全部更新
    sum[i][j] = max(sum[i - 1][j], sum[i][j]);
}

需要注意的一点是，转移之前要确保$sum[i-1][j]\ne 0$，也就是前$i-1$个元素之和的余数为$j$的情况是存在的，这有这样才能进行转移

最终只需要输出$sum[n][0]$的值即可

代码

#define ONLINE_JUDGE
#include 
using namespace std;
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define endl '\n'
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6 + 10;
ll sum[maxn][5];	// 前i个数在余数为j时的最大和
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
	int n; cin >> n;
	vector<int>a(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> a[i];
	}
	sum[0][a[0] % 5] = a[0];	// 初始化
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		int tmp = a[i] % 5;
		if (sum[i - 1][tmp] == 0) sum[i][tmp] = a[i];	// 前i-1个数之和的余数为tmp的情况还不存在，进行初始化
		for (int j = 0; j < 5; j++) {
			if (sum[i - 1][j]){
                sum[i][(tmp + j) % 5] = max(sum[i - 1][j] + a[i], sum[i][(tmp + j) % 5]);
            }
		}
        for(int j = 0; j < 5; j++){
    		sum[i][j] = max(sum[i - 1][j], sum[i][j]);
		}
	}
	cout << sum[n - 1][0] << endl;
	return 0;
}

D. Query Theory I

题目

有定义域为$N$的如下函数：
$$f(L,R)=\sum _{i=L}^R\sum _{j|i}j$$
给出$Q$次询问，每次给出$L,R$，计算函数值

$1\le Q\le 10^5,1\le L\le R\le 10^6$

题解

该函数的本质是统计$[L,R]$区间上每一个数的所有因数之和，可以采取前缀和的方式来进行维护

定义$pre[n]$：1-n上所有数的因数之和

预处理过程可分为两个步骤：

1. 统计每个数的因数和：对因数进行枚举，更新包含该因数的数$j$的因数和

   虽然看起来是两重for循环，但可以证明这是一个调和级数，复杂度为$O(n\log n)$

2. 将结果前缀和化，以方便查询

for (int i = 1; i < maxn; i++) {	// 枚举因数
    for (int j = i; j < maxn; j += i) {	// 更新数j的因数和(j是包含因数i的数)
    	pre[j] += i;
    }
}
pre[0] = 0;
for (int i = 1; i < maxn; i++) {
    pre[i] += pre[i - 1];
}

代码

#include 
using namespace std;
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define endl '\n'
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6 + 10;
ll ans[maxn];

void init()
{
	for (int i = 1; i < maxn; i++) {
		for (int j = i; j < maxn; j += i) {
			ans[j] += i;
		}
	}
	ans[0] = 0;
	for (int i = 1; i < maxn; i++) {
		ans[i] += ans[i - 1];
	}
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
	int t; cin >> t;
	init();
	while (t--) {
		int l, r; cin >> l >> r;
		cout << ans[r] - ans[l - 1] << endl;
	}
}