斐波那契博弈证明

关于斐波那契博弈，百度上有很多陈述，下面我直接证明定理：

先手胜当且仅当石子数为斐波那契数列.

事实上对于任意一个石子堆数n，先手取的石子数目b必然满足 b<1/3 n ，否则后手可以在下一步一次性取完，先手输，这是一个基本的不等关系，下面的所有不等式等式以此为核心的。

且有如下不等式：

我们称先手为a，后手为b。
首先当2个和3个石子时，我们已经知道为先手必败的情况，那么对于以后的等于斐波那契数目的石子数a_(n+2)，我们总可以把他们分成两堆a_(n+1)和a_(n)，根据⑵式，我们知道了a第一次无法拿完全部的a_(n)，于是基于前面的归纳，a_(n)也是必败局，所以b可以控制他自己的取石子路劲，使b恰好拿完了全部的a_(n)。接下来就剩下了a_(n+1)个石子，基于(3)式⁽⁴⁾，我们可以知道a不可能一次拿完所有的a_(n+1)，所以问题又一次得到了转化，b有一次在最后拿完了所有石子，所以依据数学归纳，任何斐波那契数列数目的石子，总是先手必败的！
那么当石子数目不是斐波那契数列时，n的数目总可以分解成互不相邻的斐波那契数列⁽⁵⁾，既然是互不相临，那么依据(1),总会有a先拿掉那个最小的数，然后b就会陷入有限的先手必败的循环中，永远无法跳出来⁽⁶⁾！所以a胜了！

（1）（2）（3）式都可以用数学归纳法或斐波那契数列的递推公式直接得出，再此不再证明；

(4):

这个不等式告诉我们a_(n)堆的内部架构不允许当b恰好拿完a_(n)堆的时候，a直接拿完全部的a_(n+1)，为我们接下来的归纳创造了条件。

（5）：这个规律全部用字母表示太麻烦，我直接举个例子。我们在每两个相邻的斐波那契数构成的区间上进行数学归纳，比如进行到(13,21)闭区间时，其中的任一个数A,我们总可以表示为13+x的形式，而由归纳，x又一定可以表示为斐波那契数的和，且其中最大的一定不超过5，因为如果可以等于8的话，那么13+8的值就成了21，固引理成立。

(6):当a先拿完最小的一堆石子后，以后任一堆都必然可以由a恰好拿完，且不存在b恰好拿完任意堆的情况，因为我们有（1）不等式，所以特意分解成不相邻的斐波那契堆。