[TJOI2014] Alice and Bob

 

     非常好的一道思维性题目，想了很久才想出来qwq(我好笨啊)

     考虑a[]数组有什么用，首先可以yy出一些性质 (设num[i]为原来第i个位置的数是什么 , 因为题目说至少有一个排列可以满足a[]，所以我们就假设num[]没有相同的元素)：

         1. 当 a[i] == a[j] 且 i num[j] ,因为如果反过来的话 a[j] 就至少是 a[i]+1 了。

         2. 对于任意一个 a[i] ，考虑所有 a[j] + 1 == a[i] 的 j，它们中至少有一个要满足 : num[j] < num[i]；而很显然，因为上一个性质的传递性，所以只需要找到最大的 j 然后让num[j] < num[i] 就好了，也就是说每个 位置 至多 会和前面的一个位置 有必然的大小关系。

   

     然后我们把<当作边，可以发现原图变成了一个森林。而现在我们的任务就是：求出原序列的一个拓扑排序，使得反向lis和最大。

     这个好像还不是很容易啊，填一个数带来的影响太多了。

     不过我们最初内心肯定都会有一个想法：贪心，尽量让靠后的位置匹配小的数。

     

     但是我一开始心里有一个顾虑： 如果一个位置很靠后，但是因为它必须要小于一个很靠前的位置(或者说它的爸爸编号很小)，从而被耽误导致答案很劣怎么办？

     不过画图之后证明这种情况是不存在的！

     可以发现森林的第i层就是由 所有 a[x] == i 的 x 组成的，而每个节点会向上一层最大的 编号小于自己的点 连边，所以这就保证了一种贪心的正确性：我们从虚根(0)开始，采取每次走编号最大的儿子的先序遍历策略。

     这种贪心的正确性在于，我们在走一个点i之前经过的点，要么是i的祖先(钦定要比它小的)，要么编号比i大(编号靠后的小答案更优)。

 

     于是就做完了hhhhhhhh(虽然代码被我压得很短)

 

#include
#define ll long long
#define pb push_back
using namespace std;
const int maxn=100005;
vector g[maxn];
int n,m,pre[maxn],A,num[maxn],now,f[maxn],M[maxn];
inline void update(int x,int y){ for(;x<=n;x+=x&-x) f[x]=max(f[x],y);}
inline int query(int x){ int an=0; for(;x;x-=x&-x) an=max(an,f[x]); return an;}
void dfs(int x){ if(x) num[x]=++now; for(int i=g[x].size()-1;i>=0;i--) dfs(g[x][i]);}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&A),g[pre[A-1]].pb(i),pre[A]=i;
	dfs(0); ll ans=0;
	for(int i=n;i;i--) M[i]=query(num[i]-1)+1,update(num[i],M[i]),ans+=(ll)M[i];
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

　　

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