CF1223E Paint the Tree 树形DP

一.题目

传送门
翻译：
题意翻译：
给定一个有 N 个节点的树，每个节点要染上 K 种颜色，有无数多种颜色，每种颜色最多用两次。当一条边的两个节点附上的颜色中有至少一种相同颜色时，这条边的贡献就是它的权值，否则贡献为 0。
求这颗树所有边最大的贡献之和。
数据范围：
$1\le T\le 5\cdot 10^5$ $1\le N,K\le 5\cdot 10^5$ $N的和不超过5\cdot 10^5$

二.题解

这道题目有点巧妙，是一道树形DP。
既然有一个每个颜色最多不能用超过两次，所以每个点与其对应有贡献的边最多有k条。

定义f[i][0]为i不向它的父亲连边最大的贡献
f[i][1]为i向他的父亲连边最大的贡献

然后就有$$f[fa][0]=f[fa][1]=\sum f[x][0]（fa是x的父节点）$$
于是如何运用f[x][1]呢？
我们处理一个f[x][0]转换成f[x][1]产生的贡献，即：$f[x][1]+w[fa][x]-f[x][0]$
然后将其排序，从大到小取贡献值，不取贡献值为负的就行了。

    sort (now.begin (), now.end (), cmp);//now中存了所有贡献，从大到小排序
    for (int i = 0; i < now.size () && i < k; i ++){//不能超过k条边
        if (now[i] <= 0)
            break;
        if (i < k - 1)//因为f[x][1]要向x的父亲连边，所以它的儿子向它连的边不能超过k-1条，i从0开始。
            f[x][1] += now[i];
        f[x][0] += now[i];
    }

三.Code

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

#define M 500005
#define LL long long

struct node {
    int v, w;
    node (){};
    node (int V, int W){
        v = V;
        w = W;
    }
};
int t, n, k;
LL ans, f[M][5];
vector <node> G[M];

void read (int &x){
    x = 0; int f = 1; char c = getchar ();
    while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') f = -1; c = getchar ();}
    while (c >= '0' && c <= '9') {x = x * 10 + c - 48; c = getchar ();}
    x *= f;
}
bool cmp (LL x, LL y){
    return x > y;
}
void dfs (int x, int fa){
    vector <LL> now;
    for (int i = 0; i < G[x].size (); i ++){
        int tmp = G[x][i].v, tot = G[x][i].w;
        if (tmp != fa){
            dfs (tmp, x);
            f[x][0] = f[x][0] + f[tmp][0];
            f[x][1] = f[x][1] + f[tmp][0];
            now.push_back (f[tmp][1] + 1ll * tot - f[tmp][0]);
        }
    }
    sort (now.begin (), now.end (), cmp);
    for (int i = 0; i < now.size () && i < k; i ++){
        if (now[i] <= 0)
            break;
        if (i < k - 1)
            f[x][1] += now[i];
        f[x][0] += now[i];
    }
}
int main (){
    read (t);
    while (t --){
        read (n), read (k);
        for (int i = 1; i <= n; i ++){
            G[i].clear ();
            f[i][0] = f[i][1] = 0;
        }
        for (int i = 1; i < n; i ++){
            int u, v, w;
            read (u), read (v), read (w);
            G[u].push_back (node (v, w));
            G[v].push_back (node (u, w));
        }
        dfs (1, 0);
        printf ("%lld\n", f[1][0]);
    }
    return 0;
}

谢谢！