【动态规划】整数拆分

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 算法知识视频讲解

校招时部分企业笔试将禁止编程题跳出页面，为提前适应，练习时请使用在线自测，而非本地IDE。

题目描述

一个整数总可以拆分为2的幂的和，例如： 7=1+2+4 7=1+2+2+2 7=1+1+1+4 7=1+1+1+2+2 7=1+1+1+1+1+2 7=1+1+1+1+1+1+1 总共有六种不同的拆分方式。 再比如：4可以拆分成：4 = 4，4 = 1 + 1 + 1 + 1，4 = 2 + 2，4=1+1+2。 用f(n)表示n的不同拆分的种数，例如f(7)=6. 要求编写程序，读入n(不超过1000000)，输出f(n)%1000000000。

输入描述:

每组输入包括一个整数：N(1<=N<=1000000)。

输出描述:

对于每组数据，输出f(n)%1000000000。

示例1

输入

7

输出

6

1. 用二维数组dp会超出内存限制

2. 可以转化为背包问题，21种物品，每一个可以重复取，问能恰好达道固定重要重量的选取的方案数。

dp[i][j] 表示在前i个物品中恰好选到重量为j的方案数，那么则有：

dp[i][j] = dp[i-1][j]（不选第i个物品）+dp[i][j-a[j]]（至少选一个第i个物品）

可以在循环中简化为：

dp[j] += dp[j-a[i]]

#include
using namespace std;
int dp[1000005];
int main(){
    int a[25];
    for(int i = 0; i <= 20; i++)
        a[i] = 1 << i;
    int n;
    dp[0] = 1;
    for(int i = 0; i <= 20; i++){
        for(int j = a[i]; j <= 1000000; j++){
            dp[j] += dp[j-a[i]];
            dp[j] %= 1000000000;
        }
    }
    while(scanf("%d", &n) != EOF){
        cout << dp[n] << endl;
    }

    return 0;
}