相机投影模型

对于研究计算机视觉的人来说，相机模型是一个非常头疼而又非常重要的理论，虽然我们可以只是对一些离线图片做各种算法开发，但那些图像的获取归根结底还是从相机获得，并且如果我们想要把开发出来的各种计算机视觉的算法应用到实际生活中，那么也必不可少要涉及到相机投影模型的概念。

虽然我们或多或少听说过理想相机模型就是一个“小孔成像”模型，什么“相似三角形”啦、什么透视变换啦、“相机畸变”啦等各种概念，但要想真正理解并应用到实际中，以及理解各种所谓的“相机标定”方法的内在含义，并不是一件简单的事，此处我结合自己的理解和实践，尽我的能力尽量将所想所感阐释清楚，以供大家学习和借鉴，如有不正确之处，还望不吝赐教！

一、坐标系定义

世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系（胶卷坐标系，连续值）、像素坐标系

目的： 用数学方式描述3D点如何投影到2D像素坐标系中（正投影：Forward projection），以及反过来的投影过程（Back projection）。

其中描述相机坐标系下的3D点投影到图像坐标系的过程称为透视投影（perspective projection）：

其中f为相机焦距，X,Y,Z为相机坐标系下某点坐标，x，y为相机图像坐标系下对应该点坐标。

描述世界坐标系下的3D点到相机坐标系下的表示的过程为刚体坐标系变换——旋转+平移变换：

该过程也称为相机的 外参标定 ，不涉及到相机的任何内部参数，只是坐标系的变换关系，可以用一个齐次矩阵将旋转和平移统一表示。

描述从图像坐标系到像素坐标系的过程为一个仿射变换（Affine Transformation）过程：

完整相机投影过程：