《深入浅出通信原理》学习（1-8）

    本文主要整理深入浅出通信原理的1-8帖，从“多项式乘法”到“利用卷积计算信号乘积”，链接如下：

http://bbs.c114.net/thread-394879-1-1.html#pid4546802

一、多项式乘法

    一般的求多项式乘积的方法是，逐项相乘再合并同类项，如下：

卷积求多项式乘积，则分为四步：反褶，平移，相乘，求和

以上图为例，具体步骤是：

1）将一个多项式升幂排列，一个降幂排列，并且刚好不重叠。（反褶）

2）平移下面一行的多项式（降幂排列），对重叠项交叉相乘。

3）每次平移一位，求一个系数值。

注：我们可以换成两个同幂的多项式自行验证。

二、卷积（Convolution）的表达式

    从上面多项式乘法可以看出，卷积的优点是：

1）是可以各个系数可以分开求解；

2）是各个系数的求解过程类似，方便编程实现。

从算法的角度分析：

1）普通多项式乘法的效率是O(n^2)，无论是逐项相乘还是合并同类项，都需要两重循环。

2）卷积的效率是O(nlogn)。

    事实上，通过归纳法，可以得到多项式系数的卷积公式：

注：上述公式是系数矩阵的卷积表达式。

三、利用matlab计算卷积

1，将上述多项式系数表示为两个矩阵a和b，积的系数矩阵表示为c。matlab求卷积代码如下：

    c = conv(a,b)

2，杨辉三角

注：通过matlab，可以很形象的看出，杨辉三角就是“上下相邻两行”卷积，得出第三行的反复计算过程。

初始值为x=[1 1]; y = [1 1];去除顶点。

四、将信号表示为多项式

    比如，将信号如下表示：

注：本节主要找寻“幂与三角函数”之间的对应关系，为降幂探索一种方法。

五、欧拉公式

    上一节探讨了将信号表示为三角函数形式的多项式的方法，本节将介绍欧拉公式来简化这个多项式。

    欧拉公式的推导和证明，可以自行google。它的主要用处是，将复杂的三角函数表达式，转为简洁的复数指数表达式。

注：将参数取反，代入欧拉公式，可以得到另一个表达式，这个表达式与原始的欧拉公式一起可以转换任意三角函数表达式。

六、利用卷积计算两个信号的乘积

    前面作了那么多铺垫，主要是为了“利用卷积计算两个信号的乘积”。将欧拉公式代入信号多项式，如下：

注：上面用到了两个化简的方法

1）欧拉公式将复杂的三角函数运算变为简单的复数域加减；

2）卷积简化多项式乘法。

七、信号的傅立叶级数展开

    把信号表示为多项式的形式，实际上就是“信号的傅立叶级数展开”，多项式中各项的系数就是傅立叶系数。

    下面之前的两个信号为例，作频谱图，如下：

    我们已经验证了[1 5 6] * [3 2] = [3 17 28 12]。因此，我们可以很容易理解“时域相乘，相当于频域卷积”。

八、时域信号相乘相当于频域卷积

    “时域相乘，相当于频域卷积”，它为简化运算提供了一个全新的途径。为了获得两个信号f(t)和g(t)在时域相乘的结果y(t)=f(t)g(t)，我们可以先分析这两个信号的频谱f[n]和g[n]，再对这两个信号的频谱做卷积，得到乘积信号的频谱y[n]=f[n]*g[n]，然后将频谱分量y[n]乘以对应的e^(jnwt)，再相加即得到时域的乘积信号

注意：当我们说频域的时候，我们说的只是频谱，也就是e^(jnwt)前的系数，不包括e^(jnwt)本身。各频谱分量乘以对应的e^(jnwt)再相加才能得到时域的信号。