【pytorch】自动求梯度 autograd 标量y或张量y，对x求梯度，过程详解。
文章目录
- 一、Tensor
- 二、梯度
- 三、张量y对x求梯度
- 四、中断梯度追踪
- 五、参考
一、Tensor
- 创建一个Tensor并设置requires_grad=True:
x = torch.ones(2, 2, requires_grad=True)
print(x)
print(x.grad_fn)
- 输出
tensor([[1., 1.],
[1., 1.]], requires_grad=True)
None
- 再做一下运算操作：
y = x + 2
print(y)
print(y.grad_fn)
- 输出
tensor([[3., 3.],
[3., 3.]], grad_fn=<AddBackward>)
<AddBackward object at 0x1100477b8>
- 注意x是直接创建的，所以它没有grad_fn, 而y是通过一个加法操作创建的，所以它有一个为的grad_fn。
- 像x这种直接创建的称为叶子节点，叶子节点对应的grad_fn是None。
print(x.is_leaf, y.is_leaf) # True False
- 再来点复杂度运算操作：
z = y * y * 3
out = z.mean()
print(z, out)
- 输出
tensor([[27., 27.],
[27., 27.]], grad_fn=<MulBackward>) tensor(27., grad_fn=<MeanBackward1>)
- 通过.requires_grad_()来用in-place的方式改变requires_grad属性：
- 输出
a = torch.randn(2, 2) # 缺失情况下默认 requires_grad = False
a = ((a * 3) / (a - 1))
print(a.requires_grad) # False
a.requires_grad_(True)
print(a.requires_grad) # True
b = (a * a).sum()
print(b.grad_fn)
- 输出
False
True
<SumBackward0 object at 0x118f50cc0>
二、梯度
- 因为out是一个标量，所以调用backward()时不需要指定求导变量：
out.backward() # 等价于 out.backward(torch.tensor(1.))
我们来看看out关于x的梯度 d ( o u t ) d x : \frac{d(out)}{dx}: dxd(out):
print(x.grad)
输出：
tensor([[4.5000, 4.5000],
[4.5000, 4.5000]])
我们令out为 o o o , 因为
o = 1 4 ∑ i = 1 4 z i = 1 4 ∑ i = 1 4 3 ( x i + 2 ) 2 o=\frac14\sum_{i=1}^4z_i=\frac14\sum_{i=1}^43(x_i+2)^2 o=41i=1∑4zi=41i=1∑43(xi+2)2
所以
∂ o ∂ x i ∣ x i = 1 = 9 2 = 4.5 \frac{\partial{o}}{\partial{x_i}}\bigr\rvert_{x_i=1}=\frac{9}{2}=4.5 ∂xi∂o∣∣xi=1=29=4.5
所以上面的输出是正确的。
数学上，如果有一个函数值和自变量都为向量的函数 y ⃗ = f ( x ⃗ ) \vec{y}=f(\vec{x}) y=f(x), 那么 y ⃗ \vec{y} y 关于 x ⃗ \vec{x} x 的梯度就是一个雅可比矩阵（Jacobian matrix）:
J = ( ∂ y 1 ∂ x 1 ⋯ ∂ y 1 ∂ x n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ y m ∂ x 1 ⋯ ∂ y m ∂ x n ) J=\left(\begin{array}{ccc} \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{n}}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial y_{m}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial y_{m}}{\partial x_{n}} \end{array}\right) J=⎝⎜⎛∂x1∂y1⋮∂x1∂ym⋯⋱⋯∂xn∂y1⋮∂xn∂ym⎠⎟⎞
而torch.autograd这个包就是用来计算一些雅克比矩阵的乘积的。例如，如果 v v v 是一个标量函数的 l = g ( y ⃗ ) l=g\left(\vec{y}\right) l=g(y) 的梯度：
v = ( ∂ l ∂ y 1 ⋯ ∂ l ∂ y m ) v=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial l}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial l}{\partial y_{m}}\end{array}\right) v=(∂y1∂l⋯∂ym∂l)
那么根据链式法则我们有 l l l 关于 x ⃗ \vec{x} x 的雅克比矩阵就为:
v J = ( ∂ l ∂ y 1 ⋯ ∂ l ∂ y m ) ( ∂ y 1 ∂ x 1 ⋯ ∂ y 1 ∂ x n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ y m ∂ x 1 ⋯ ∂ y m ∂ x n ) = ( ∂ l ∂ x 1 ⋯ ∂ l ∂ x n ) v J=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial l}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial l}{\partial y_{m}}\end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{n}}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial y_{m}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial y_{m}}{\partial x_{n}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial l}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial l}{\partial x_{n}}\end{array}\right) vJ=(∂y1∂l⋯∂ym∂l)⎝⎜⎛∂x1∂y1⋮∂x1∂ym⋯⋱⋯∂xn∂y1⋮∂xn∂ym⎠⎟⎞=(∂x1∂l⋯∂xn∂l)
注意：grad在反向传播过程中是累加的(accumulated)，这意味着每一次运行反向传播，梯度都会累加之前的梯度，所以一般在反向传播之前需把梯度清零。
# 再来反向传播一次，注意grad是累加的
out2 = x.sum()
out2.backward()
print(x.grad)
out3 = x.sum()
x.grad.data.zero_()
out3.backward()
print(x.grad)
输出：
tensor([[5.5000, 5.5000],
[5.5000, 5.5000]])
tensor([[1., 1.],
[1., 1.]])
三、张量y对x求梯度
为什么在
y.backward()时，如果y是标量，则不需要为backward()传入任何参数；否则，需要传入一个与y同形的Tensor?
简单来说就是为了避免向量（甚至更高维张量）对张量求导，而转换成标量对张量求导。举个例子，假设形状为m x n的矩阵 X 经过运算得到了p x q的矩阵 Y，Y 又经过运算得到了s x t的矩阵 Z。那么按照前面讲的规则，dZ/dY 应该是一个s x t x p x q四维张量，dY/dX 是一个p x q x m x n的四维张量。问题来了，怎样反向传播？怎样将两个四维张量相乘？？？这要怎么乘？？？就算能解决两个四维张量怎么乘的问题，四维和三维的张量又怎么乘？导数的导数又怎么求，这一连串的问题，感觉要疯掉……
为了避免这个问题，我们不允许张量对张量求导，只允许标量对张量求导，求导结果是和自变量同形的张量。所以必要时我们要把张量通过将所有张量的元素加权求和的方式转换为标量，举个例子，假设y由自变量x计算而来，w是和y同形的张量，则y.backward(w)的含义是：先计算l = torch.sum(y * w)，则l是个标量，然后求l对自变量x的导数。
参考
来看一些实际例子。
x = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0, 4.0], requires_grad=True)
y = 2 * x
z = y.view(2, 2)
print(z)
输出：
tensor([[2., 4.],
[6., 8.]], grad_fn=<ViewBackward>)
现在 y 不是一个标量，所以在调用backward时需要传入一个和y同形的权重向量进行加权求和得到一个标量。
v = torch.tensor([[1.0, 0.1], [0.01, 0.001]], dtype=torch.float)
z.backward(v)
print(x.grad)
输出：
tensor([2.0000, 0.2000, 0.0200, 0.0020])
注意，x.grad是和x同形的张量。
四、中断梯度追踪
再来看看中断梯度追踪的例子：
x = torch.tensor(1.0, requires_grad=True)
y1 = x ** 2
with torch.no_grad():
y2 = x ** 3
y3 = y1 + y2
print(x.requires_grad)
print(y1, y1.requires_grad) # True
print(y2, y2.requires_grad) # False
print(y3, y3.requires_grad) # True
输出：
True
tensor(1., grad_fn=<PowBackward0>) True
tensor(1.) False
tensor(2., grad_fn=<ThAddBackward>) True
可以看到，上面的y2是没有grad_fn而且y2.requires_grad=False的，而y3是有grad_fn的。如果我们将y3对x求梯度的话会是多少呢？
y3.backward()
print(x.grad)
输出：
tensor(2.)
为什么是2呢？ y 3 = y 1 + y 2 = x 2 + x 3 y_3 = y_1 + y_2 = x^2 + x^3 y3=y1+y2=x2+x3，当 x = 1 x=1 x=1 时 d y 3 d x \frac {dy_3} {dx} dxdy3 不应该是5吗？事实上，由于 y 2 y_2 y2 的定义是被torch.no_grad():包裹的，所以与 y 2 y_2 y2 有关的梯度是不会回传的，只有与 y 1 y_1 y1 有关的梯度才会回传，即 x 2 x^2 x2 对 x x x 的梯度。
上面提到，y2.requires_grad=False，所以不能调用 y2.backward()，会报错：
RuntimeError: element 0 of tensors does not require grad and does not have a grad_fn
此外，如果我们想要修改tensor的数值，但是又不希望被autograd记录（即不会影响反向传播），那么我么可以对tensor.data进行操作。
x = torch.ones(1,requires_grad=True)
print(x.data) # 还是一个tensor
print(x.data.requires_grad) # 但是已经是独立于计算图之外
y = 2 * x
x.data *= 100 # 只改变了值，不会记录在计算图，所以不会影响梯度传播
y.backward()
print(x) # 更改data的值也会影响tensor的值
print(x.grad)
输出：
tensor([1.])
False
tensor([100.], requires_grad=True)
tensor([2.])
五、参考
动手学深度学习pytorch版