数学----有趣的扑克牌《一》

问题：

一副扑克牌，除去大小王后共52张牌，随机从中抽八张牌，问八张牌的和最有可能是多少？

分析：

这52张牌，其实就是数字 1 2 3 。。。13， 每个数字出现4次。随机抽出8个数，问组成的和最有可能是多少？

聪明的你可能想到了另一个很类似的问题，2 sum: 问一个数组中是否存在两个数的和等于某个给定的值。

当然，这里就类似于 8 sum。 但是，题目却问的是，最有可能的结果是多少？

怎么分析呢？

最简单，但最有效的方法就是举个例子，就能理清思路了。

和最小的话就是 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 +2 = 12, 可以想象这个和12来说，出现的概率非常之低。

同样，对于和 12*4 + 13*4= 100 来说，出现的概率同样非常之低。

那么[12, 100] 中间的数呢？ 可以想象，这些数有更多的数的组合，使得其和等于这个值， 因此概率更大。

大胆地猜想，（12 + 100）/2  = 56， 概率最大，越靠近这个和，出现的概率越大。

验证：

数学讲究严密性。刚刚的猜想是建立的观测的基础之上的。但是想必还是不能服众。

1. 另一种简单的分析思路：

大家可以看看 1 2 ...  12 13 , 这13个数其实是非常对称的。

为什么这么说呢， 【1+13】= 【2+12】 = 【3+11】= 。。。。= 【6 + 8】

『高斯小的时候就发现了这个规律。。』

上述的和都是 14, 也就是说，平均下来一个数就是7，因此7*8 = 56 的可能性最大。

当然，这样分析，不够严谨， 但有的时候，观察 + 猜想 = 成功

2. 咱们是学计算机呢，直接跑个程序验证不久 okay了。

最简单暴力的，就是枚举所有的情况，统计所有的和出现的次数。

当然，可能有人会说了，那不就是八重循环，吓死人啊....

可以采用 DFS， 就能避免写这么多个for 循环，代码如下：

//number[i]表示和为i的数目
int number[100];

void dfs(int cur, int count, int sum, int n)
{
  if(count == 8){
    ++ number[sum];
    return;
  }
  else if(cur > n){
    return;
  }
  //5种选择
  dfs(cur+1, count, sum, n);
  dfs(cur+1, count+1, sum+cur, n);
  dfs(cur+1, count+2, sum+2*cur, n);
  dfs(cur+1, count+3, sum+3*cur, n);
  dfs(cur+1, count+4, sum+4*cur, n);
}

实验如下：gnuplot 画的这线图，支持开源。。