背包问题 I

一、题目描述

在 n 个物品中挑选若干物品装入背包，最多能装多满？假设背包的大小为 m，每个物品的大小为 A[i]

• 例如

样例 1:
	输入:  [3,4,8,5], backpack size=10
	输出:  9

样例 2:
	输入:  [2,3,5,7], backpack size=12
	输出:  12

• 题目链接

https://www.lintcode.com/problem/backpack/description

二、解法

从已知的题目中，可以总结出以下两点：

• 每件物品只有一种
• 每件物品最多选择一次

那么考虑对于前 i 件的物品在容量为 w 的背包下，最大的装载量是多少，由此可以总结出对应的子结构，进行动态规划。

算法思路

• 用 dp[i][j] 表示前 i 个物品在容量为 j 的背包下，最大的装载量。
• 在这个问题中，若只考虑第 i 件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前 i − 1 件物品的问题：
  • 如果不放第 i 件物品，可得 dp[i][j] = dp[i − 1][j]
  • 如果放了第 i 件物品，可得 dp[i][j] = dp[i − 1][j − A[i]] + A[i] (j ≥ A[i])
• 总结状态转换方程为
  • dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - A[i]] + A[i])

复杂度分析

n 表示物品件数，m表示背包的容量

• 时间复杂度：O(nm)
• 空间负责度：O(nm)

算法优化

观察上方的状态转义方程，可以发现dp[i][j]方程的两个状态都只和dp[i-1]有关，显然通过
O(nm) 的空间复杂度，难免会浪费一些空间。
可以考虑使用滚动数组优化，建立dp数组 dp[m]，使用 dp[j - A[i]] 代替 dp[i - 1][j - A[i]]。优化后状态转义方程为 dp[j] = max(dp[j], dp[j − A[i]] + A[i])

优化后复杂度分析

• 时间复杂度：O(nm)
• 空间复杂度：O(m)

代码思路梳理

• 建立数组dp[m]表示背包容量为 m 的情况下，最大的装载量
• 初始化dp[0] = 0
• 正序枚举 A[i]，并倒叙枚举 j，这样所需要的 dp[j - A[i]] 不会被提前更新
• 最后返回 dp[m]，表示背包容量在 m 下的答案

public class Solution {

    public int backPack(int m, int[] A) {
        // 如果背包容量或者物品数量为0，则直接返回
        if (A.length == 0 || m == 0) {
            return 0;
        }
        
        int n = A.length;
        int[] dp = new int[m + 1];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            // 滚动数组优化 倒叙枚举j
            for (int j = m; j >= A[i]; j--) {
                dp[j] = Integer.max(dp[j], dp[j - A[i]] + A[i]);
            }
        }
        return dp[m];
    }
}