乘法逆元及其求法

一、相关定理介绍

1.乘法逆元

如果ax≡1 (mod p),且gcd(a,p)=1（a与p互质），则称a关于模p的乘法逆元为x。下文中，x都表示乘法逆元。

2.费马小定理

假如a是一个整数，p是一个质数，那么是p的倍数，可以表示为

或者写作：

3.扩展欧几里得定理

已知整数a、b，扩展欧几里得算法可以在求得a、b的 最大公约数 的同时，能找到整数x、y（其中一个很可能是负数），使它们满足 贝祖等式 。

二、乘法逆元的求法

1.费马小定理

由费马小定理 a ^p-1 ≡1 , 变形得 a*a ^p-2 ≡1(mod p)，答案已经很明显了:若a,p互质,因为a*a ^p-2 ≡1(mod p)且a*x≡1(mod p),则x=a ^p-2 (mod p),用快速幂可快速求之 .

2.扩展欧几里得

我们都知道模就是余数，比如12%5=12-5*2=2，18%4=18-4*4=2。（/是程序运算中的除）

那么ax≡1 (mod p)即ax-yp=1.把y写成+的形式就是ax+py=1，为方便理解下面我们把p写成b就是ax+by=1。就表示x是a的模b乘法逆元，y是b的模a乘法逆元。然后就可以用扩展欧几里得求了。

三、乘法逆元与除法取模

求a/b=x(mod M）

只要M是一个素数,而且b不是M的倍数,就可以用一个逆元整数b1,通过 a/b=a*b1 (mod M)，只能来以乘换除。
费马小定理:对于素数 M 任意不是 M 的倍数的 b，都有：b ^ (M-1) = 1 (mod M)
于是可以拆成：b*b^(M-2)=1(mod M)
于是:a/b=a/b*(b * b ^ (M-2))=a*(b ^ (M-2)) (mod M)

求a/b=x(mod M)

用扩展欧几里德算法算出b1,然后计算a*b1(mod M)

exgcd(b,M,x,y);   b1=x;

 

当p是个质数的时候有
inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p

 

证明：

设x = p % a,y = p / a
于是有 x + y * a = p
(x + y * a) % p = 0
移项得 x % p = (-y) * a % p
x * inv(a) % p = (-y) % p
inv(a) = (p - y) * inv(x) % p
于是 inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p

然后一直递归到1为止，因为1的逆元就是1