乘法逆元及其解法

乘法逆元
如果ax≡1 (mod p),且gcd(a,p)=1（a与p互质），则称a关于模p的乘法逆元为x。

1.用扩展欧几里得求得逆元（a,p）=1
我们都知道模就是余数，比如12%5=12-52=2，18%4=18-44=2。（/是程序运算中的除）
那么$ax\equiv 1(modp)$即$ax-yp=1.$把y写成+的形式就是$ax+py=1$ ，为方便理解下面我们把p写成b就是$ax+by=1$。就表示x是a的模b乘法逆元，y是b的模a乘法逆元。然后就可以用扩展欧几里得求了。

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(a%b==0){
        x=0ll;y=1ll;
        return b;
    }
    ll v,tx,ty;
    v=exgcd(b,a%b,tx,ty);
    x=ty;
    y=tx-a/b*ty;
    return v;
}

ll inv(ll a,ll p){
    if(!a) return 0ll;
    ll x,y;
    exgcd(a,p,x,y);
    x=(x%p+p)%p;
    return x;
}

2.用费马小定理来求逆元(a,p)=1且p为素数
在模为素数p的情况下，有费马小定理
a^(p-1)=1（mod p）
那么a^(p-2)=a-1(mod p)
也就是说a的逆元为a^(p-2)

ll quick_pow(ll a,ll b,ll mod){
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=(ans*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll inv(ll x,ll mod){
    return quick_pow(x,mod-2,mod);
}

3.欧拉定理（a,p互质）
当模p不是素数的时候需要用到欧拉
a^phi(p )≡1 (mod p)
a*a^(phi(p )-1)≡1 (mod p)
也就是说a的逆元为a^(phi(p )-1)
4.线性时间内求逆元（打表）
求1, 2,⋯,p−1 mod p 的逆元 （p必须为素数）

于是就可以从前面推出当前的逆元了，代码也就一行

A[i] = ( p - p / i) * A[p % i] % p;

5.还有一种求逆元的方法：
已知$b|a$