[LGOJ1495]曹冲养猪——[CRT]

【题目描述】

自从曹冲搞定了大象以后，曹操就开始琢磨让儿子干些事业，于是派他到中原养猪场养猪，可是曹冲很不高兴，于是在工作中马马虎虎，有一次曹操想知道母猪的数量，于是曹冲想狠狠耍曹操一把。
举个例子，假如有16头母猪，如果建了 3个猪圈，剩下1 头猪就没有地方安家了；如果建造了5 个猪圈，但是仍然有 1头猪没有地方去；如果建造了 7个猪圈，还有2 头没有地方去。你作为曹总的私人秘书理所当然要将准确的猪数报给曹总，你该怎么办？

【输入格式】

第一行包含一个整数n，表示建立猪圈的次数；

接下来n 行，每行两个整数 ，表示建立了 ai 个猪圈，有bi 头猪没有去处。你可以假定 ai,aj 互质。

【输出格式】

输出仅包含一个正整数，即为曹冲至少养猪的数目。

$SampleInput$

3
3 1
5 1
7 2

$SampleOutput$

16

【题意分析】

因为$\forall i,j\in [1,n],a_i$与$a_j$互质，那么我们可以用CRT（中国剩余定理）解决此题

转化题意，CRT是求得同余方程组

$$\{\begin{array}{l}x\equiv b_1(mod{a}_1)\\ x\equiv b_2(mod{a}_2)\\ ...\\ x\equiv b_n(mod{a}_n)\end{array}$$

的最小正整数解

先预处理出这n个模数的LCM，即

$$LCM=\prod _{i=1}^n{a}_i$$

考虑把问题分割，对于第i个同余方程，令
$$u=\frac{LCM}{a_i}$$

先求得一个x，它是u的倍数，而且模ai等于bi
举个栗子，同余方程组

$$\{\begin{array}{l}x\equiv 1(mod3)\\ x\equiv 1(mod5)\\ x\equiv 2(mod7)\end{array}$$

那么LCM是3x5x7=105
先看第三个方程，u是105/7=15，那我们只要找到一个最小的15的倍数，它模7余2，是30，即方程

$$15x\equiv 2(mod7)$$

的正最小整数解，等价于

$$15x+7y=2$$

显然珂以利用扩欧求解方程

$$15x+7y=1$$

的最小正整数解，那么将答案再乘上右边的系数2即可求得30。

如果我们把由第三个方程搞出的这个30记做${\lambda }_3$，那么这个问题的最后答案就是

$$ans=(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i)\%LCM$$

如果为负，加上若干倍LCM再取模即可。

Code:

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define MAXN 100
#define int long long
using namespace std;

int a[MAXN], b[MAXN], alpha[MAXN], x, y, n, LCM = 1, ans;

void EXGCD (int &x, int &y, int a, int b) {
	if (! b) {
		x = 1, y = 0; return;
	}
	EXGCD (x, y, b, a % b);
	int tmp = x;
	x = y;
	y = tmp - a / b * y;
}

void CRT () {
	for (register int i = 1; i <= n; i++, x = 0, y = 0) {
		EXGCD (x, y, LCM / a[i], a[i]);
		ans += (x * (LCM / a[i]) * b[i]), ans = (ans % LCM + LCM) % LCM;
	}
	printf ("%lld\n", ans);
}

signed main () {
	scanf ("%lld", &n);
	for (register int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf ("%lld%lld", &a[i], &b[i]); LCM *= a[i];
	}
	CRT ();
	return 0;
}