基础dp

例一、数字三角形

设dp[i][j]表示坐标为（i , j )的点到底边的最大距离，则

$$dp[i][j]=max(dp[i+1][j]，dp[i+1][j+1])+a[i][j]$$

#include <iostream>
#include <cmath>
#define rep(i,a,b) for (int i=a; i<=b; ++i)
using namespace std;
const int maxn=100+5;

int n;
int a[maxn][maxn];
int dp[maxn];

int main()
{
	cin>>n;
	rep(i,1,n)
		rep(j,1,i)
			cin>>a[i][j];
	
	rep(i,1,n)
		dp[i]=a[n][i];
	
	for(int i=n-1;i>=1;--i)
		for(int j=1;j<=i;++j)
			dp[j]=max(dp[j],dp[j+1])+a[i][j];
	cout<<dp[1]<<endl;
	
	return 0;
}

例二、最长上升子序列
题意：给定N个整数，请你求出最长上升子序列的个数
思路：设dp[ i ] 表示以$a_i$终点的最长上升子序列的长度
$$dp[i]=max(dp[j],1\le j<i且a_j<a_i)$$

时间复杂度O($n^2$)

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#define rep(i,a,b) for (int i=a; i<=b; ++i)
#define mes(a,b)  memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
const int maxn=1000+5,INF=0x3f3f3f3f;
const int mod=1e9+7;

int n,a[maxn],dp[maxn];

int main()
{
	cin>>n;
	rep(i,1,n)
		cin>>a[i];
	
	rep(i,1,n)
		dp[i]=1;
	
	for(int i=2;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<i;++j)
			if(a[j]<a[i])
				dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]);
	
	cout<<*max_element(dp+1,dp+1+n)<<endl;
	return 0;
}

例三、最长公共子序列
题意：给定两个字符串a、b，求出两个字符串最长公共子序列的长度
思路：dp[i][j]表示a中前i个字符和b中前j个字符形成的最长公共子序列的长度
转移方程：
$$dp[i][j]=\{\begin{array}{ll}dp[i-1][j-1]+1& (a[i]==b[j])\\ max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])& (a[i]̸=b[j])\end{array}$$

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#define rep(i,a,b) for (int i=a; i<=b; ++i)
#define mes(a,b)  memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
const int maxn=1000+5,INF=0x3f3f3f3f;
const int mod=1e9+7;

string a,b;
int dp[maxn][maxn];

int main()
{
	while(cin>>a>>b)
	{
		int n=a.length();
		int m=b.length();
		for(int i=1;i<=n;++i)
			for(int j=1;j<=m;++j)
				if(a[i-1]==b[j-1])
					dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
				else
					dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
		cout<<dp[n][m]<<endl;
	}		
	return 0;
}

注意：字符串下标从0开始，不可以从dp[0][0]开始遍历，数组会越界

例四、神奇的口袋
题意：在N个物品中，取得体积为40的取法
思路：dp[i][j]表示前i个物品，体积为j的取法数。对于每种物品只有取和不取两种情况
转移方程：$$dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-v[i]](j\ge v[i])$$

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#define rep(i,a,b) for (int i=a; i<=b; ++i)
#define mes(a,b)  memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
const int maxn=1000+5,INF=0x3f3f3f3f;
const int mod=1e9+7;

int n;
int dp[30][45],v[30];

int main()
{
	cin>>n;	
	rep(i,1,n)
		cin>>v[i];	
	rep(i,0,n)
		dp[i][0]=1;

	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		for(int j=1;j<=40;++j)
		{
			dp[i][j]=dp[i-1][j];
			if(j>=v[i])
				dp[i][j]+=dp[i-1][j-v[i]];
		}		
	}
	cout<<dp[n][40]<<endl;
	return 0;
}

例五、滑雪
题意：给定一个图，图中数字代表每点的高度，求最长的可滑行的长度
思路：dp[i][j]表示从（i，j）这点出发的最长滑行长度。从低到高，遍历每一个点，往四周更新（我为人人递推型），或者四周向我更新（人人为我递推型）。
转移方程$$dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+1,dp[i][j])$$

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#define rep(i,a,b) for (int i=a; i<=b; ++i)
#define mes(a,b)  memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
const int maxn=110,INF=0x3f3f3f3f;
const int mod=1e9+7;

int R,C,dp[maxn][maxn],h[maxn][maxn];

struct Point
{
	int x,y,z;
	bool operator<(const Point &b) const
	{
		return z<b.z;
	}
}P[maxn*maxn];

int main()
{
	
	cin>>R>>C;
	int k=0;
	rep(i,1,R)
	{
		rep(j,1,C)
		{
			int z;
			cin>>z;
			P[k].x=i;
			P[k].y=j;
			P[k].z=z;
			++k;	
			h[i][j]=z;		
			dp[i][j]=1;
		}		
	}
	
	sort(P+1,P+1+k);
	int ans=1;
	for(int x=1;x<=k;++x)
	{
		int i=P[x].x;
		int j=P[x].y;
		if(h[i][j]>h[i-1][j])
			dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+1,dp[i][j]);
		if(h[i][j]>h[i+1][j])
			dp[i][j]=max(dp[i+1][j]+1,dp[i][j]);
		if(h[i][j]>h[i][j-1])
			dp[i][j]=max(dp[i][j-1]+1,dp[i][j]);
		if(h[i][j]>h[i][j+1])
			dp[i][j]=max(dp[i][j+1]+1,dp[i][j]);		
		ans=max(dp[i][j],ans);
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}