整理总结：深入浅出统计学——置信区间的构建

参考资料：电子工业出版社的《深入浅出统计学》

前言

我们的确可以使用点估计量来估计总体均值、方差或一定比例的精确值，但是我们始终无法确定我们使用的样本一定是无偏样本，因此我们考虑使用置信区间的方法来估计总体统计量，因为它是考虑了不确定性的方法。

具体内容

糖果公司用一个包含100粒糖球的样本得出口味持续时间均值的点估计量为62.7分钟，于是便在电视节目黄金时段宣布其公司糖球口味的平均持续时间为62.7分钟，但有人自行做了测试，得出了不同的结果，威胁要起诉糖果公司。
此时，我们应该制定的是总体均值的估计值的区间范围，而不是一个精确值，因为这样的话会给予我们更大的误差空间，就不容易被人起诉了。

一、置信区间的求解 —— 总体正态、样本正态

1、选择总体统计量

在问题中，需要为糖球口味持续时间的均值来构建区间，于是需要为总体均值$\mu$来构建一个置信区间。

2、求出其抽样分布

为了求出总体均值的抽样分布，我们需要先计算出$\overline{X}$的期望、方差和分布。而这些在上一节中已经计算过了。
此时一个问题是我们现在并不知道总体的方差是多少，但是我们可以借用点估计法$\hat{\mu }$ 或 $s^2$ 来近似替代，因为这已经是我们目前所具有的数据中可以得到的最近似的值了。公式进一步推导成如下形式。
对于样本均值的分布，我们可以根据"若X符合正态分布，那么$\overline{X}$也符合正态分布"的定理来得知，其应符合正态分布。在本题中即是$\overline{X}\sim N(\mu ,\frac{s^2}{n})$。

3、决定置信水平

置信水平表明你希望自己对于“总体统计量落入置信区间”的这一说法有多大的把握，比如我们希望总体均值的执行水平为95%，这表明总体均值处于置信区间的概率为0.95，当然可以更高如99%，这样糖果公司就可以更有信心在广告宣称“总体均值位于这个置信区间”这一说法。
值得注意的是，置信水平越高，区间越宽，也就是确定的概率越大，范围越广，也越对说法有把握。
为了防止说法几乎毫无意义，我们需要确定一个合适的置信水平，确保范围小而可靠，对此，我们一般采用95%作为常用置信水平。

4、求出置信上下限

根据抽样分布和选择好的置信水平来求出置信上下限，从而确定置信区间的范围。
此时我们再将$\overline{X}$进行标准化，从而利用正态分布表来查出其对应的区间值。

此时我们将括号里面的不等式进行展开，即可确定置信区间范围，其中$\overline{X}$可以通过样本$\overline{x}$来计算。

得出最后结果。

二、置信区间的简便算法

1、统计量的抽样分布符合正态分布时

2、统计量的抽样分布符合T分布时

三、特殊情况 —— 总体正态、样本T分布

糖果公司想求出糖球重量的置信区间，但只抽取了少量的样本，比如抽取了一个具有代表性的样本，共10颗，然后称了每一粒糖球的重量，计算出这个样本的$\overline{X}$=0.5，$s^2$=0.09，此时该如何求出其置信区间。

1、选择总体统计量

我们需要为糖球重量均值构建一个置信区间，也就是要为总体均值$\mu$构建置信区间。

2、求$\overline{X}$的概率分布

当总体符合正态分布，${\delta }^2$未知，且可供支配的样本很小时，$\overline{X}$符合T分布。而当样本数量为n个时，T分布的形式为$T\sim t(n-1)$，而$T=\frac{\overline{X}-u}{s/\sqrt{n}}$，也就是说在这道题中$T=\frac{\overline{X}-u}{s/\sqrt{n}}\sim t(9)$。

3、决定置信水平

一般设置为95%。

4、求出$\mu$的置信上下限

再利用T分布概率表可求出$P(T>t)=p$中的t值，在这道题中p=0.025。