2020牛客暑期多校训练营（第二场）F

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类型

这道题很明显是一道单调队列的题目，这个数据结构在我之前的文章中有写到。

二维化一维

不过这是二维的，首先想到的是用一个单调队列来维护当前的最大值（如下图中que），由于对于每列来说只有该列的最大值是有用的，小于最大值的数不用理会（想想为什么），所以每列就存一个最大值就行，这样就变成了一维的了。

由于对不同行，计算新的连续K个排在一列的数（如图中蓝框）的最大值会重复遍历相同点，时间复杂度高，可以想到能不能先把最大值全算出来再利用。求连续K个排在一列的数的最大值其实又是一个求m区间内的最小值的问题，不过是对每一列求，这样每个点仅遍历一次就可求出所有位置的最大值。

做法：

对每一列用一次 求m区间内的最小值 的算法求出所有小矩形框对应最大值，再根据得到的最大值对每一行用 求m区间内的最小值 的算法求出每个矩阵对应的最大值。
同时利用筛法来加快矩阵的计算

for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=m;j++)
		if(!Gcd[i][j])
			for(int k=1;k*i<=n&&k*j<=m;k++)
				Gcd[i*k][j*k]=k,arr[i*k][j*k]=i*j*k;

筛法原理：
对于任意一对不是互质的数x、y，设k=gcd(x,y)，则x=i * k,y=j * k ,其中i与j是互质的。故通过该筛法，我们每次k遍历时的开头都是互质的两个数，因为不互质的数都会在k>1的情况中被访问到，这样也就保证了所有的点都会被正确的筛选出来。由于每个点最多被访问两次（互质一次，不互质两次），这样也就在O(m*n)的时间复杂度计算出了矩阵。

C++代码：

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAX_N=5e3+5;
int arr[MAX_N][MAX_N];
int the_max[MAX_N][MAX_N];
int que[MAX_N];
int head=0,tail=0;
 
int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
void init(int n,int m)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        if(!arr[i][j])
            for(int k=1;k*i<=n&&k*j<=m;k++)
                arr[i*k][j*k]=i*j*k;
}
 
int main()
{
    int n,m,k;//行n,列m
    cin>>n>>m>>k;
    init(n,m);
    for(int j=1;j<=m;j++)
    {
        head=0,tail=0;
        for(int i=1;i<=k;i++)
        {
            while(head<tail&&que[tail-1]<arr[i][j])tail--;
            que[tail++]=arr[i][j];
        }
        the_max[1][j]=que[head];
        for(int i=k+1;i<=n;i++)
        {
            if(que[head]==arr[i-k][j])head++;
            while(head<tail&&que[tail-1]<arr[i][j])tail--;
            que[tail++]=arr[i][j];
            the_max[i-k+1][j]=que[head];
        }
    }
    long long ans=0;
    for(int i=1;i<=n-k+1;i++)//i行j列
    {
        head=0,tail=0;
        for(int j=1;j<=k;j++)
        {
            while(head<tail&&que[tail-1]<the_max[i][j])tail--;
            que[tail++]=the_max[i][j];
        }
        ans += que[head];
        for(int j=k+1;j<=m;j++)
        {
            if(the_max[i][j-k]==que[head])head++;
            while(head<tail&&que[tail-1]<the_max[i][j])tail--;
            que[tail++]=the_max[i][j];
            ans+=que[head];
        }
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}
}