60-BFS的应用——求最短路径

1. 求最短路径

  这几篇将主要根据我们之前所学的图的遍历算法来解决一些问题，下面我们来看这样的一个问题。

  问题：求不带权连通图G中从顶点u到顶点v的一条最短路径。（即求顶点u到顶点v之间边数最少的顶点序列）。

图1-求最短路径

  例如，对于这样的一个有向图，我们要求顶点0到顶点7的最短路径。对于求最短路径，我们是选择DFS还是BFS呢？这是一个值得思考的问题。

2. DFS or BFS

首先来看DFS深度优先搜索：

图2-DFS深度优先搜索

  如果采用DFS深度优先搜索的话，得到的路径可能是0 - 1 - 3 - 6 - 7这样的路径，而根据之前我们学习DFS深度优先搜索过程可知，简单来说，DFS深度优先搜索就是选择一个方向（顶点），然后依次访问下去（访问邻接点），直到访问到终点为止，在这个过程中DFS深度优先搜索并不关心这是否是一条最短路径，而从最终搜索到的路径来看，这显然不是一条最短路径。

我们再来看BFS广度优先搜索：

图3-BFS广度优先搜索

  从图3来看，BFS广度优先搜索是对每一层的所有相邻的顶点进行搜索，直到找到终点为止。在这个搜索过程中，广度优先搜索会对所有的邻接点进行了访问，因此当广度优先搜索完成后，我们就可以知道有这样的一条最短路径可以到达顶点v（即序列：0 - 2 - 5 - 7）。

3. 广度优先搜索算法思路

  1. 从顶点u出发一层一层地向外扩展

  2. 利用队列记录访问的顺序

  3. 当第一次找到顶点v时队列中便包含了最短路径，同时在搜索过程中利用队列存储最短路径（这是一个普通队列，而非之前所说的环形队列）

  4. 然后再利用队列输出最短路径（逆路径）

如果你还是有些疑惑的话（比如逆路径），不要急，接下来我们还会继续介绍。

4. 求最短逆路径算法

  最好是先把BFS算法先熟悉一下，有助于理解这个求最短逆路径算法，求最短逆路径算法的实现：

//求最短逆路径算法
void ShortPath(ALGraph *G,int u,int v)
{
    ArcNode *p;
    int w,i;
    struct QUERE qu[MAXV];
    //int front;
    //int rear;
    //设置visited数组
    int visited[MAXV];
    for(i=0; in; i++)
        visited[i]=0;

    //对起始点标记为已访问
    visited[u]=1;
    //设置队列
    int front = -1;
    int rear = -1;
    rear++;
    //将起始点入队，前驱设置为-1
    qu[rear].data=u;
    qu[rear].parent=-1;


    while (front!=rear) //队不空循环
    {
        //出队顶点w
        front++;
        w=qu[front].data;

        //然后判断是否为要找的终点
        //知道出队顶点w为7的时候，就可以输出路径了
        if (w==v)
        {
            //找到v时输出路径之逆并退出
            /*
                注意：因为这条路径是逆路径，所以要从顶点7开始输出，
                每次输出完后，开始找parent，根据parent找到上一个顶点的下标位置并输出
                ，以此类推，直到找到parent为-1则说明逆路径输出完毕
            */
            i=front;
            while (qu[i].parent!=-1)
            {
                printf("%2d ",qu[i].data);
                i=qu[i].parent;
            }
            printf("%2d\n",qu[i].data);
            break;
        }

        //访问w的所有邻接点(这一步操作非常重要，体现BFS广度优先搜索，相信大家对这一步操作已经不陌生了吧)
        p=G->adjlist[w].firstarc;
        while (p!=NULL)
        {
            if (visited[p->adjvex]==0)
            {
                visited[p->adjvex]=1;
                rear++;
                qu[rear].data=p->adjvex;
                qu[rear].parent=front;
            }
            p=p->nextarc;
        }
    }
}

5. 求最短路径算法的过程

图4-求最短路径算法的过程

  还记得前面我们说过的逆路径吗？求最短逆路径算法过程如图4所示，BFS广度优先搜索会将所有搜索到的顶点进行入队，每个顶点入队时会记录两项信息，其中data域记录顶点的信息，parent域记录上一个顶点的下标位置。比如对于顶点5来说，data会记录顶点5的值，而parent域会记录顶点5的上一个顶点2的下标位置（下标为2）。这样我们就可以通过这种方式输出逆路径了。

  而求最短逆路径算法中的顶点w则会记录每个出队的顶点，所以当顶点w为顶点7时，此时顶点w和顶点v相等，则说明找到了最短逆路径，所以会从顶点7开始输出，并根据顶点7的parent域找到上一个顶点，并输出顶点5，以此类推，直到顶点的parent为-1，这说明逆路径就输出完毕了。