《剑指offer》面试题49：丑数

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一、题目

　　我们把只包含因子2、3和5的数称作丑数（Ugly Number）。求按从小到大的顺序的第1500个丑数。例如6、8都是丑数，但14不是，因为它包含因子7。习惯上我们把1当做第一个丑数。
　　

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二、解法一

　　如果一个数是丑数，那么他只能被2、3和5整除，也就是说如果一个数能被2整除，就连续除以2；如果一个数能被3整除，就连续除以3；如果一个数能被5整除，就连续除以5。如果最后结果是1，那么这个数就是丑数；否则就不是。

　　这种方法思路比较简单，利用丑数自身的特性很快就能想到，代码也简洁，但是他有个致命的缺陷——时间效率低（判断一个数是否为丑数的时间复杂度为 O(n∗logn) O ( n ∗ l o g n ) ）。即便一个数不是丑数它也要进行求余和除法运算，而我们知道这两个运算是计算机处理起来最慢的，这时候我们需要一种效率更高的算法。

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三、实现代码一

bool IsUgly(int number)
{
    while (number % 2 == 0)
        number /= 2;
    while (number % 3 == 0)
        number /= 3;
    while (number % 5 == 0)
        number /= 5;

    return (number == 1) ? true : false;
}

int GetUglyNumber_1(int index)
{
    if (index <= 0)
        return 0;

    //计数器，遇到一个丑数就+1
    int count = 0;
    int number = 0;
    while (count < index)
    {
        ++number;
        if (IsUgly(number))
            ++count;
    }
    return number;
}

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四、解法二

　　一般来说要提高时间效率最有效的方法就是“以空间换时间”。根据丑数的定义，一个丑数肯定是另一个丑数乘以2、3或5的结果（丑数1除外）。所以我们可以创建一个数组，里面存放的是已经排序好的丑数，每个丑数是前面某个丑数乘以2、3或5放入结果。

　　我们把数组中现有的最大丑数记做M。现在我们来生成下一个丑数，该丑数肯定是前面某一个丑数乘以2、3或者5的结果。

　　我们首先考虑把已有的每个丑数乘以2。在乘以2的时候，能得到若干个结果小于或等于M的。由于我们是按照顺序生成的，小于或者等于M肯定已经在数组中了，我们不需再次考虑；我们还会得到若干个大于M的结果，但我们只需要第一个大于M的结果，因为我们希望丑数是按从小到大顺序生成的，其他更大的结果我们以后再说。我们把得到的第一个乘以2后大于M的结果，记为M2。

　　同样我们把已有的每一个丑数乘以3和5，能得到第一个大于M的结果M3和M5。那么下一个丑数应该是M2、M3和M5三个数的最小者。

　　但事实上我们并不需要把已有的每个丑数分别在乘以2、3和5。因为已有的丑数是按顺序存放在数组中的。对于乘以2而言，它前面一定存在某个丑数M2，M2前面的所有丑数乘以2的结果都小于当前最大丑数；M2后面的所有丑数乘以2的结果都大于当前最大丑数。我们只要记住M2这个丑数的位置，同时每次生成新的丑数时再去更新M2即可。对于乘以3、5而言，同样存在M3、M5。

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五、实现代码二

int Min(int num1, int num2, int num3)  
{
    int min = (num1 < num2) ? num1 : num2;
    min = num3 < min ? num3 : min;

    return min;
}

int GetUglyNumber_2(int index)
{
    if (index <= 0)
    {
        return 0;
    }

    int* pUglyNumbers = new int[index];
    pUglyNumbers[0] = 1;

    int NextUglyIndex = 1;  // 下一个丑数的下标

    // 记录M2、M3和M5
    int* pMultiply2 = pUglyNumbers;
    int* pMultiply3 = pUglyNumbers;
    int* pMultiply5 = pUglyNumbers;

    while (NextUglyIndex < index)
    {
        int min = Min(*pMultiply2 * 2, *pMultiply3 * 3, *pMultiply5 * 5);
        pUglyNumbers[NextUglyIndex] = min;

        while (*pMultiply2 * 2 <= pUglyNumbers[NextUglyIndex])
            ++pMultiply2;

        while (*pMultiply3 * 3 <= pUglyNumbers[NextUglyIndex])
            ++pMultiply3;

        while (*pMultiply5 * 5 <= pUglyNumbers[NextUglyIndex])
            ++pMultiply5;

        ++NextUglyIndex;
    }
    int ugly = pUglyNumbers[NextUglyIndex - 1];
    delete[]pUglyNumbers;

    return ugly;
}

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六、测试两种方法的性能

int main()
{
    int start = GetTickCount();
    printf("%d\n", GetUglyNumber_1(1500));
    int end = GetTickCount();
    printf("方法一耗时: %ds\n\n", end - start);

    start = GetTickCount();
    printf("%d\n", GetUglyNumber_2(1500));
    end = GetTickCount();
    printf("方法二耗时: %ds\n", end - start);

    system("pause");
    return 0;
}

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