二分图的最佳匹配（KM 算法）

找了标程研究了一下，修改成自己的风格了，贴上来。
 
引用：
KM算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[i]，顶点Yi的顶标为B [i]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[i]+B[j]>=w[i,j]始终 成立。KM算法的正确性基于以下定理：
　　若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。
　　这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。
　　初始时为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[i]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。
　　我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：
两端都在交错树中的边(i,j)，A[i]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。
两端都不在交错树中的边(i,j)，A[i]和B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。
X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。
X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。
　　现在的问题就是求d值了。为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，d应该等于min{A[i]+B[j]-w[i,j]|Xi在交错树中，Yi不在交错树中}。
　　以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶 标，每次修改顶标时由于要枚举边来求d值，复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数 slack，每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与A [i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点：修改 顶标后，要把所有的slack值都减去d。

#include  < cstdio >
#include  < memory.h >
#include  < algorithm >      //  使用其中的 min 函数
using   namespace  std;

const   int  MAX  =   1024 ;

int  n;                 //  X 的大小
int  weight [MAX] [MAX];         //  X 到 Y 的映射（权重）
int  lx [MAX], ly [MAX];         //  标号
bool  sx [MAX], sy [MAX];     //  是否被搜索过
int  match [MAX];         //  Y(i) 与 X(match [i]) 匹配

//  初始化权重
void  init ( int  size);
//  从 X(u) 寻找增广道路，找到则返回 true
bool  path ( int  u);
//  参数 maxsum 为 true ，返回最大权匹配，否则最小权匹配
int  bestmatch ( bool  maxsum  =   true );

void  init ( int  size)
{
     //  根据实际情况，添加代码以初始化
    n  =  size;
     for  ( int  i  =   0 ; i  <  n; i  ++ )
         for  ( int  j  =   0 ; j  <  n; j  ++ )
            scanf ( " %d " ,  & weight [i] [j]);
}


bool  path ( int  u)
{
    sx [u]  =   true ;
     for  ( int  v  =   0 ; v  <  n; v  ++ )
         if  ( ! sy [v]  &&  lx[u]  +  ly [v]  ==  weight [u] [v])
            {
            sy [v]  =   true ;
             if  (match [v]  ==   - 1   ||  path (match [v]))
                {
                match [v]  =  u;
                 return   true ;
                }
            }
     return   false ;
}

int  bestmatch ( bool  maxsum)
{
     int  i, j;
     if  ( ! maxsum)
        {
         for  (i  =   0 ; i  <  n; i  ++ )
             for  (j  =   0 ; j  <  n; j  ++ )
                weight [i] [j]  =   - weight [i] [j];
        }

     //  初始化标号
     for  (i  =   0 ; i  <  n; i  ++ )
        {
        lx [i]  =   - 0x1FFFFFFF ;
        ly [i]  =   0 ;
         for  (j  =   0 ; j  <  n; j  ++ )
             if  (lx [i]  <  weight [i] [j])
                lx [i]  =  weight [i] [j];
        }

    memset (match,  - 1 ,  sizeof  (match));
     for  ( int  u  =   0 ; u  <  n; u  ++ )
         while  ( 1 )
            {
            memset (sx,  0 ,  sizeof  (sx));
            memset (sy,  0 ,  sizeof  (sy));
             if  (path (u))
                 break ;

             //  修改标号
             int  dx  =   0x7FFFFFFF ;
             for  (i  =   0 ; i  <  n; i  ++ )
                 if  (sx [i])
                     for  (j  =   0 ; j  <  n; j  ++ )
                         if ( ! sy [j])
                            dx  =  min (lx[i]  +  ly [j]  -  weight [i] [j], dx);
             for  (i  =   0 ; i  <  n; i  ++ )
                {
                 if  (sx [i])
                    lx [i]  -=  dx;
                 if  (sy [i])
                    ly [i]  +=  dx;
                }
            }

     int  sum  =   0 ;
     for  (i  =   0 ; i  <  n; i  ++ )
        sum  +=  weight [match [i]] [i];

     if  ( ! maxsum)
        {
        sum  =   - sum;
         for  (i  =   0 ; i  <  n; i  ++ )
             for  (j  =   0 ; j  <  n; j  ++ )
                weight [i] [j]  =   - weight [i] [j];         // 如果需要保持 weight [ ] [ ] 原来的值，这里需要将其还原
        }
    return sum;
}


int main()
{
    int n;
    scanf ("%d", &n);
    init (n);
    int cost = bestmatch (true);

    printf ("%d ", cost);
    for (int i = 0; i < n; i ++)
        {
        printf ("Y %d -> X %d ", i, match [i]);
        }

    return 0;
} 

/*
5
3 4 6 4 9
6 4 5 3 8
7 5 3 4 2
6 3 2 2 5
8 4 5 4 7
//执行bestmatch (true) ，结果为 29
*/

/*
5
7 6 4 6 1
4 6 5 7 2
3 5 7 6 8
4 7 8 8 5
2 6 5 6 3
//执行 bestmatch (false) ，结果为 21
*/

这个实现和图论书上描述的有所不同，这个和 匈牙利算法方法上是一样的（不断地寻找增广道路。。），而不是像书上在过程中调用匈牙利算法。。