HDU 1465 ：不容易系列之一（错排问题，二项式反演）

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从题意来看，就是求 n 个人的错排方案数。
考虑递推的方法：$n$ 个人错排，$n$ 一定不在自己位置上，考虑 $n$ 站在 其它 $n-1$ 个人中某一个人的位置，显然这样能将所有情况分成不相交的情况。
假设 $n$ 站在了 $i$ 的位置上，那么根据 $i$ 是否站在 $n$ 的位置上可以再将情况分成两种：
1：$i$ 不在 $n$ 的位置上，这相当于 $n-1$个数错排，$i$ 不能在 $n$ 的位置。
2：$i$ 在 $n$ 的位置上，那么剩下 $n-2$个数错排即可
因此递推式为：$d[n]=(n-1)\ast (d[n-1]+d[n-2])$，边界值为：$d[0]=d[1]=0,d[2]=1$
这个递推式是非常系数的递推式

另外一种做法是用容斥原理，$n$ 个人任意排列：方案有$n!$。
扣掉一个人站在自己的位置上，其它 $n-1$个人任意排列：$n!-C(n,1)\ast (n-1)!$
…
很容易得到容斥计算公式：${\sum }_{i=0}^n(-1{)}^{i}C(n,i)(n-i)!$

学了二项式反演之后，然后现在又有了一种憨憨做法：
设$f(i)$为 恰有 $i$ 个人错排，$F(i)$ 为最多 i 个人错排，显然 $F(i)=i!$。

$F(n)={\sum }_{i=0}^{n}C(n,i)f(i)$
反演一下有$f(n)={\sum }_{i=0}^n(-1{)}^{n-i}C(n,i)F(i)={\sum }_{i=0}^n(-1{)}^{n-i}C(n,i)i!$
形式上和容斥原理相同。

那么还是给个递推的代码吧（逃

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代码：

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e3 + 10; 
ll dp[maxn];
int main() {
	dp[0] = dp[1] = 0;dp[2] = 1;
	for(int i = 3; i <= 20; i++)
		dp[i] = (i - 1) * (dp[i - 1] + dp[i - 2]);
	int n;
	while(scanf("%d",&n) != EOF) {
		printf("%lld\n",dp[n]);
	}
	return 0;
}