RSA算法原理与具体实现

1. 什么是RSA

RSA算法是现今使用最广泛的公钥密码算法，也是号称地球上最安全的加密算法。在了解RSA算法之前，先熟悉下几个术语 根据密钥的使用方法，可以将密码分为对称密码和公钥密码 对称密码：加密和解密使用同一种密钥的方式

公钥密码：加密和解密使用不同的密码的方式，因此公钥密码通常也称为非对称密码。

2. RSA加密

RSA的加密过程可以使用一个通式来表达

密文＝明文EmodN

也就是说RSA加密是对明文的E次方后除以N后求余数的过程。就这么简单？对，就是这么简单。 从通式可知，只要知道E和N任何人都可以进行RSA加密了，所以说E、N是RSA加密的密钥，也就是说E和N的组合就是公钥，我们用(E,N)来表示公钥

公钥＝(E,N)

不过E和N不并不是随便什么数都可以的，它们都是经过严格的数学计算得出的，关于E和N拥有什么样的要求及其特性后面会讲到。顺便啰嗦一句E是加密（Encryption）的首字母，N是数字（Number）的首字母

3. RSA解密

RSA的解密同样可以使用一个通式来表达

明文＝密文DmodN

也就是说对密文进行D次方后除以N的余数就是明文，这就是RSA解密过程。知道D和N就能进行解密密文了，所以D和N的组合就是私钥

私钥＝(D,N)

从上述可以看出RSA的加密方式和解密方式是相同的，加密是求“E次方的mod N”;解密是求“D次方的mod N” 此处D是解密（Decryption）的首字母；N是数字（Number）的首字母。

公钥 （E，N）
私钥 （D，N）
密钥对 （E，D，N）
加密 密文＝明文EmodN密文＝明文EmodN 解密 明文＝密文DmodN

4. 生成密钥对

既然公钥是（E，N），私钥是（D，N）所以密钥对即为（E，D，N）但密钥对是怎样生成的？步骤如下：

1. 求N
2. 求L（L为中间过程的中间数）
3. 求E
4. 求D

4.1 求N

准备两个质数p，q。这两个数不能太小，太小则会容易破解，将p乘以q就是N

N=p∗q

4.2 求L

L 是 p－1 和 q－1的最小公倍数，可用如下表达式表示

L=（p－1，q－1）

4.3 求E

E必须满足两个条件：E是一个比1大比L小的数，E和L的最大公约数为1 用gcd(X,Y)来表示X，Y的最大公约数则E条件如下：

1 < E < L
gcd（E，L）=1

之所以需要E和L的最大公约数为1是为了保证一定存在解密时需要使用的数D。现在我们已经求出了E和N也就是说我们已经生成了密钥对中的公钥了。

4.4 求D

数D是由数E计算出来的。D、E和L之间必须满足以下关系：

1 < D < L E＊D mod L ＝ 1 

只要D满足上述2个条件，则通过E和N进行加密的密文就可以用D和N进行解密。 简单地说条件2是为了保证密文解密后的数据就是明文。 现在私钥自然也已经生成了，密钥对也就自然生成了。 小结下：

求N N＝ p ＊ q ；p，q为质数
求L L＝lcm（p－1，q－1） ；L为p－1、q－1的最小公倍数
求E 1 < E < L，gcd（E，L）=1；E，L最大公约数为1（E和L互质） 求D 1 < D < L，E＊D mod L ＝ 1

5 实践下吧

我们用具体的数字来实践下RSA的密钥对对生成，及其加解密对全过程。为方便我们使用较小数字来模拟。

5.1 求N 我们准备两个很小对质数， p ＝ 17 q ＝ 19 N ＝ p ＊ q ＝ 323

5.2 求L L ＝ lcm（p－1， q－1）＝ lcm(16，18） ＝ 144 144为16和18对最小公倍数

5.3 求E 求E必须要满足2个条件：1 < E < L ，gcd（E，L）=1 即1 < E < 144，gcd（E，144） ＝ 1 E和144互为质数，5显然满足上述2个条件 故E ＝ 5

此时公钥=(E，N）＝ （5，323）

5.4 求D 求D也必须满足2个条件：1 < D < L，E＊D mod L ＝ 1 即1 < D < 144，5 ＊ D mod 144 ＝ 1 显然当D＝ 29 时满足上述两个条件 1 < 29 < 144 5＊29 mod 144 ＝ 145 mod 144 ＝ 1 此时私钥＝（D，N）＝（29，323）

5.5 加密 准备的明文必须时小于N的数，因为加密或者解密都要mod N其结果必须小于N 假设明文 ＝ 123 则 密文＝明文EmodN＝1235mod323=225密文＝明文EmodN＝1235mod323=225 5.6 解密 明文＝密文DmodN＝22529mod323=123明文＝密文DmodN＝22529mod323=123 解密后的明文为123

6 实现RSA算法

import com.sun.org.apache.xml.internal.security.utils.Base64;
import javax.crypto.Cipher;
import java.security.KeyFactory;
import java.security.KeyPair;
import java.security.KeyPairGenerator;
import java.security.NoSuchAlgorithmException;
import java.security.SecureRandom;
import java.security.interfaces.RSAPrivateKey;
import java.security.interfaces.RSAPublicKey;
import java.security.spec.PKCS8EncodedKeySpec;
import java.security.spec.X509EncodedKeySpec;
import java.util.HashMap;
import java.util.Map;

/**
 * RSA
 * 非对称加解密
 * 算法实现
 */
public class RSAEncrypt {

    /**
     * 缓存公钥与私钥组
     */
    private static Map keyMap = new HashMap<>();

    /**
     * 随机生成密钥对
     * @throws NoSuchAlgorithmException
     */
    public static String genKeyPair() throws NoSuchAlgorithmException {
        // KeyPairGenerator类用于生成公钥和私钥对，基于RSA算法生成对象
        KeyPairGenerator keyPairGen = KeyPairGenerator.getInstance("RSA");
        // 初始化密钥对生成器，密钥大小为96-1024位
        keyPairGen.initialize(1024,new SecureRandom());
        // 生成一个密钥对，保存在keyPair中
        KeyPair keyPair = keyPairGen.generateKeyPair();
        // 得到公钥
        RSAPublicKey publicKey = (RSAPublicKey) keyPair.getPublic();
        // 得到私钥
        RSAPrivateKey privateKey = (RSAPrivateKey) keyPair.getPrivate();
        String strPublicKey = new String(Base64.encode(publicKey.getEncoded()));
        // 将公钥和私钥保存到Map
        keyMap.put(strPublicKey,privateKey);
        return strPublicKey;
    }

    /**
     * RSA公钥加密
     *
     * @param str
     *        加密字符串
     * @param publicKey
     *        公钥
     * @return 密文
     * @throws Exception
     *        加密过程中的异常信息
     */
    public static String encrypt( String str, String publicKey ) throws Exception{
        //base64编码的公钥
        byte[] decoded = Base64.decode(publicKey);
        RSAPublicKey pubKey = (RSAPublicKey) KeyFactory.getInstance("RSA").generatePublic(new X509EncodedKeySpec(decoded));
        //RSA加密
        Cipher cipher = Cipher.getInstance("RSA");
        cipher.init(Cipher.ENCRYPT_MODE, pubKey);
        String outStr = Base64.encode(cipher.doFinal(str.getBytes("UTF-8")));
        return outStr;
    }

    /**
     * RSA私钥解密
     *
     * @param str
     *            加密字符串
     * @param privateKey
     *            私钥
     * @return 铭文
     * @throws Exception
     *             解密过程中的异常信息
     */
    public static String decrypt(String str, String privateKey) throws Exception{
        //64位解码加密后的字符串
        byte[] inputByte = Base64.decode(str.getBytes("UTF-8"));
        //base64编码的私钥
        byte[] decoded = Base64.decode(privateKey);
        RSAPrivateKey priKey = (RSAPrivateKey) KeyFactory.getInstance("RSA").generatePrivate(new PKCS8EncodedKeySpec(decoded));
        //RSA解密
        Cipher cipher = Cipher.getInstance("RSA");
        cipher.init(Cipher.DECRYPT_MODE, priKey);
        String outStr = new String(cipher.doFinal(inputByte));
        return outStr;
    }

    public static void main(String[] args) throws Exception {

        //生成公钥和私钥
        genKeyPair();
        //加密字符串
        String message = "df723820";
        String strPublicKey = genKeyPair();
        System.out.println("随机生成的公钥为:" + strPublicKey);

        Object privatePair = keyMap.get(strPublicKey);
        RSAPrivateKey privateKey = (RSAPrivateKey) privatePair;
        String strPrivateKey = new String(Base64.encode((privateKey.getEncoded())));

        System.out.println("随机生成的私钥为:" + strPrivateKey);
        String messageEn = encrypt(message,strPublicKey);

        System.out.println(message + "\t加密后的字符串为:" + messageEn);
        String messageDe = decrypt(messageEn,strPrivateKey);
        System.out.println("还原后的字符串为:" + messageDe);

    }

}