启发式合并&线段树合并&treap合并&splay合并

启发式合并

　　有 n 个集合，每次让你合并两个集合，或询问一个集合中是否存在某个元素。

​　　我们可以用平衡树/set维护集合。

​　　对于合并两个 A,B ，如果 |A|<|B| ，那么我们就把 A 中的每个元素暴力加到 B 中，否则就把 B 中的元素暴力加到 A 中。

​　　对于一次把 A 中的每个元素暴力加到 B 中的操作， |A| 会变成 |A|+|B| ，也就是说大小至少会翻倍，所以一个元素最多被暴力插入 logn 次。每次插入的时间复杂度是 O(logn) ，所以总的时间复杂度是 O(nlog2n) 。

线段树合并

​　　如果两棵线段树有一颗为空，就直接返回另一棵。

​　　否则把 x 的左儿子和 y 的左儿子合并在一起，作为 x 的左儿子，然后把 x 的右儿子和 y 的右儿子合并在一起，作为 x 的右儿子。

​　　设值域为 [1,m] ，总的点数为 n 。

　　好像要 m 和 n 同阶

​　　对于线段树上一个区间，这个区间内所有点的值和为 s ，那么全部合并结束后这个区间最多被经过 O(s) 次，所以时间复杂度是 O(∑s)=O(nlogn) 。

treap合并

​　　对于两个点 x,y ，把优先级较小的那个点（假设是 x ）作为根，然后把另外一棵树 y 按照 vx 剖开，两边递归下去合并。

​　　时间复杂度不会证，反正把大小为 n,m(n≤m) 的两棵treap合并是 O(nlogmn) 的。所以总的时间复杂度是 O(nlogn) 的。

　　论文在资源收集那篇博客里面有。

splay合并

　　听说是把小的那棵splay按中序遍历插到大的那棵splay里面。

　　听说时间复杂度是 O(nlogn) 的。

　　好像和Dynamic Finger Theorem有关