基础算法———前缀和与差分

1. 前缀和与差分的定义与联系
   设有数组{a_n} = a₁, a₂, a₃, ……，a_n； {b_n} = b₁, b₂, b₃, ……, b_n
   且有a_i = b₁+b₂+b₃+……+b_i
   则称a_n为b_n的前缀和，b_n为a_n的差分，且b_n = a_n - a_n-1

2. 用途
   前缀和的作用：已知某个数组的前缀和数组，可以快速求得该数组的某个区间片段和
   差分的作用：利用原数组的差分数组，快速使原数组某个区间片段的元素加上同一个数

3. 在矩阵上的推广
   前缀和与差分可以从一位数组推广到二维数组（矩阵），快速求得子矩阵的和以及快速对子矩阵的元素同时加一个数

4. 一维前缀和模板

s[i] = a[1] + a[2] + a[3] + …+a[i]
a[l] + … + a[r] = s[r] - s[l-1]

应用例题：前缀和
输入一个长度为n的整数序列。
接下来再输入m个询问，每个询问输入一对l, r。
对于每个询问，输出原序列中从第l个数到第r个数的和。
输入格式
第一行包含两个整数n和m。
第二行包含n个整数，表示整数数列。
接下来m行，每行包含两个整数l和r，表示一个询问的区间范围。
输出格式
共m行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤l≤r≤n,1≤n,m≤100000
−1000≤数列中元素的值≤1000

输入样例：
5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4
输出样例：
3
6
10

#include

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int a[N], s[N];		//此处a[0], s[0]被初始化为0

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);	//数组从下标1开始存放，使s[n]也可以用s[i-1] + a[i]表示

	for(int i = 1; i <=n ; i++) s[i] = s[i-1] + a[i];	//初始化s[N]

	while(m--)
	{
		int l, r;
		scanf("%d%d", &l, &r);
		printf("%d\n", s[r] - s[l-1]);		//计算片段和并输出
	}

	return 0;
}		

5. 二维前缀和模板

s[i][j] 是二维数组第i行第j列元素左上角所有元素的和
以(x₁, y₁)为左上角，(x₂, y₂)为右下角的子矩阵所有元素和为：
s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1- 1];

应用例题：子矩阵的和
输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个询问，每个询问包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
输入格式
第一行包含三个整数n，m，q。
接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。
接下来q行，每行包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一组询问。
输出格式
共q行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤n,m≤1000,1≤q≤200000,1≤x1≤x2≤n,1≤y1≤y2≤m
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：
3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4
输出样例：
17
27
21

#include

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m, q;
int a[N][N], s[N][N];

int main()
{
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		for(int j = 1; j<=m; j++)
			scanf("%d", &a[i][j]);

	for(int i = 1; i <= n; i++)
		for(int j = 1; j <= m; j++)
			s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + a[i][j];	//初始化s[N][N]
	
	while(q--)
	{
		int x1, y1, x2, y2;
		scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
		printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x1-1][y2] - s[x2][y1-1] + s[x1 - 1][y1 - 1]); 	//输出子矩阵的和
	}
	return 0;	


		

6. 差分模板

给区间[l, r]中的每个数都加上c：b[l] += c, b[r+1] -= c;

应用例题：差分
输入一个长度为n的整数序列。
接下来输入m个操作，每个操作包含三个整数l, r, c，表示将序列中[l, r]之间的每个数加上c。
请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式
第一行包含两个整数n和m。
第二行包含n个整数，表示整数序列。
接下来m行，每行包含三个整数l，r，c，表示一个操作。
输出格式
共一行，包含n个整数，表示最终序列。
数据范围
1≤n,m≤100000,1≤l≤r≤n,−1000≤c≤1000
−1000≤整数序列中元素的值≤1000

输入样例：
6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1
输出样例：
3 4 5 3 4 2

#include

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m; 
int a[N], b[N];

//函数功能：使数组[l, r]区间每个数都加c
void insert(int l, int r, int c)
{	
	b[l] += c;
	b[r+1] -= c;
}

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i<=n; i++) scanf("%d", &a[i]);		//读入原数组

	for(int i = 1; i<=n; i++) insert(i, i, a[i]);		//初始化差分数组

	while(m--)
	{
		int l, r, c;
		scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
		insert(l, r, c);
	}

	for(int i = 1; i<=n; i++) b[i] += b[i-1];	//计算经过m次操作后的数组，存储在b[N]中。
	for(int i = 1; i<=n; i++) printf("%d ", b[i]);
	
	return 0;
}	

7. 二维差分模板

给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c

应用例题：差分矩阵
输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个操作，每个操作包含五个整数x1, y1, x2, y2, c，其中(x1, y1)和(x2, y2)表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上c。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式
第一行包含整数n,m,q。

接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。

接下来q行，每行包含5个整数x1, y1, x2, y2, c，表示一个操作。

输出格式
共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围
1≤n,m≤1000 ,
1≤q≤100000 ,
1≤x1≤x2≤n ,
1≤y1≤y2≤m ,
−1000≤c≤1000 ,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1
输出样例：
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

#include

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
	b[x1][y1] += c;
	b[x1][y2 + 1] -= c;
	b[x2 + 1][y1] -= c;
	b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

int main()
{
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
	for(int i = 1; i<=n; i++)
		for(int j = 1; j<=m; j++)
			scanf("%d", &a[i][j]);
	 
	 for(int i = 1; i<=n; i++)
	 	for(int j = 1; j <= m; j++)
	 		insert(i, j, i, j, a[i][j]);	//初始化差分矩阵

	while(q--)
	{
		int x1, y1, x2, y2, c;
		scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c);
		insert(x1, y1, x2, y2, c); //对以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c
	}

	for(int i = 1; i <= n; i++)
		for(int j = 1; j <= m; j++)
			b[i][j] += b[i-1][j] + b[i][j-1] - b[i-1][j-1];	//计算b[N][N]的子矩阵和，即a[i][j]，并储存在b[i][j]中

	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for(int j = 1; j <= m; j++) printf("%d ", b[i][j]); //输出计算经过m次操作后的矩阵
		puts(" "); //输出换行符
	}
	return 0;
}		
				

[^1]注：为了方便计算，计算前缀和与差分时，一维数组与二维数组下标为零的元素全部初始化为0，使a[l] + … +a[r] = s[r] - s[l-1]恒成立
[^2]注：此文章所有代码均来自www.acwing.com