勒让德函数(Legendre多项式)

勒让德函数

定义

勒让德函数指以下勒让德微分方程的解：
$$(1-x^2)\frac{d^{2}P(x)}{d{x}^2}-2x\frac{dP(x)}{dx}+n(n+1)P(x)=0$$
在球坐标中求解三维拉普拉斯方程时，问题会归结为勒让德方程的求解。

勒让德多项式

公式

n=1、2、3... 时，随n值变化方程的解相应变化，构成一组由正交多项式组成的多项式序列，这组序列称为勒让德多项式。
勒让德多项式$P_n(x)$是n项多项式，表示为
$$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d{x}^n}[(x^2-1{)}^n]$$

Associated Legendre Function

我不清楚该怎么翻译了，先这么凑合一下吧。。
$$P_l^m(x)=(-1{)}^m(1-x^2{)}^{m/2}\frac{d^m}{d{x}^m}(P_l(x))$$