NOIP2005普及组第4题 循环【高精度+规律】

问题 C: NOIP2005普及组第4题 循环　　　
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题目描述
乐乐是一个聪明而又勤奋好学的孩子。他总喜欢探求事物的规律。一天，他突然对数的正整数次幂产生了兴趣。
众所周知，2的正整数次幂最后一位数总是不断的在重复2，4，8，6，2，4，8，6……我们说2的正整数次幂最后一位的循环长度是4（实际上4的倍数都可以说是循环长度，但我们只考虑最小的循环长度）。类似的，其余的数字的正整数次幂最后一位数也有类似的循环现象：
循环
循环长度
2
2、4、8、6
4
3
3、9、7、1
4
4
4、6
2
5
5
1
6
6
1
7
7、9、3、1
4
8
8、4、2、6
4
9
9、1
2
这时乐乐的问题就出来了：是不是只有最后一位才有这样的循环呢？对于一个整数n的正整数次幂来说，它的后k位是否会发生循环？如果循环的话，循环长度是多少呢？
注意：
1． 如果n的某个正整数次幂的位数不足k，那么不足的高位看做是0。
2． 如果循环长度是L，那么说明对于任意的正整数a，n的a次幂和a + L次幂的最后k位都相同。
输入
只有一行，包含两个整数n（1 <= n < 10^100）和k（1 <= k <= 100），n和k之间用一个空格隔开，表示要求n的正整数次幂的最后k位的循环长度。
输出
包括一行，这一行只包含一个整数，表示循环长度。如果循环不存在，输出-1。

【数据规模】
对于30%的数据，k <= 4；
对于全部的数据，k <= 100。

样例输入
32 2
样例输出
4
提示
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题目类型：高精度乘法+规律。

分析：一般来说遇到这种问题，像10^100这样的数据范围，不是高精度就是另有规律可循。这是一个循环结问题，以往有遇到打表找规律的这种问题，极容易被忽悠。

WA点：
1.答案有可能存在long long int保存不下的情况，需要用数组保存。并且过程需要高精度高乘。
2.既需要高精度低乘，又需要高精度高乘，在数组拷贝的过程中极可能出现失误。
3.单组输入

TLE点：
1.在数组的比较过程中，可以用O(1)的时间复杂度解决，而不必O(100)。

高精度高乘：大数与大数相乘，数组乘数组实现。

高精度低乘：大数与整数（较小）相乘，数字乘数字实现。

规律：当后K为数字存在循环结的必要条件是，后K-1位数字存在循环结，并且K的最小循环结必定是K-1的最小循环结的整数倍。并且对于当前位数的处理不必要取模，既然已经用了数组高精度保存便可以只考虑当前位数。在比较时，显然后K-1位已经按照之前的循环结递推过来必定相同，我们只需要比较倒数第K位是否相等即可。

技巧：关于查找循环结上限的问题，当前位数出现可能是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，在10次之内必定会出现与第一次相同的情况，当前次数*K-1的循环结即可得到K的循环结。如果10之内未能出现，那肯定就不存在了。

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
string s;
int m, k; int i, j; int a[205], aans[205], n[205], ans[205], last[205], now[205], t[205];
int single_j[12] = { 1,1,4,4,2,1,1,4,4,2 };//单循环结
void init() {
    memset(a, 0, sizeof a); memset(last, 0, sizeof last);
    memset(aans, 0, sizeof aans); memset(now, 0, sizeof now);
    memset(ans, 0, sizeof ans); memset(n, 0, sizeof n); memset(t, 0, sizeof t);
    //for (int i = 1;; i++) { if (m == 0) break; n[i] = m % 10; m /= 10; }//将m存入数组n，以便于高精度
}
void multiplyh(int x[], int y[], int z[]) {//高精度高乘
    int up = 0;
    for (int ii = 1; ii <= k; ii++) {
        for (j = 1; j <= k; j++)
        {
            z[ii + j - 1] += (x[j] * y[ii] + up) % 10;
            up = (x[j] * y[ii] + up) / 10;
        }
        up = 0;
    }
    for (int ii = 1; ii <= k; ii++) {//进位
        z[ii + 1] += z[ii] / 10;
        z[ii] %= 10;
    }
}
void multiplyl(int x[], int yy, int z[]) {//高精度低乘
    int up = 0;
    for (int ii = 1; ii <= k; ii++) {
        z[ii] = (x[ii] * yy + up) % 10;
        up = (x[ii] * yy + up) / 10;
    }
}
int main()
{
    //scanf("%d%d", &m, &k);
    init();
    cin >> s;
    cin >> k;
    int temp = 0, len = s.size();
    for (i = len - 1; i >= len - k; i--)
        n[++temp] = s[i] - '0';
    int tmp = 0;
    for (int i = 1; i <= k; i++) ans[i] = n[i];
    for (int i = 1; i < single_j[n[1]]; i++) {
        memset(aans, 0, sizeof aans);
        multiplyh(ans, n, aans);
        for (int j = 1; j <= k; j++) { ans[j] = aans[j]; }//更新为第一次出现末尾循环节的状态
    }
    t[1] = single_j[n[1]];//最低位的循环结
    for (int i = 1; i <= k; i++) now[i] = ans[i];
    int pos = 2;//当前倒数位数
    while (pos <= k) {
        for (int j = 1; j <= k; j++) {
            ans[j] = n[j];
            last[j] = now[j];
        }
        tmp = 0;
        while (tmp < 11) {
            tmp++;
            memset(aans, 0, sizeof aans);
            multiplyh(ans, now, aans);
            for (j = 1; j <= k; j++) {
                ans[j] = aans[j];
            }
            if (ans[pos] == n[pos]) break;//找到循环结
            memset(aans, 0, sizeof(aans));
            multiplyh(last, now, aans);//更新last
            for (j = 1; j <= k; j++) last[j] = aans[j];
        }
        if (tmp >= 11) { cout << -1; return 0; }
        for (int j = 1; j <= k; j++) now[j] = last[j];
        memset(aans, 0, sizeof aans);
        multiplyl(t, tmp, aans);//更新循环节数组
        for (int i = 1; i <= 100; i++)  t[i] = aans[i];
        pos++;
    }
    int flag = 0;//不输出前导0
    for (int i = 100; i >= 1; i--) {
        if (t[i]) flag = 1;
        if (flag) cout << t[i];
    }
    //cout << endl;
    return 0;
}