记忆化搜索是啥
以 NOIP 2005 采药 为例：
山洞里有 M 株不同的草药，采每一株都需要一些时间 \(t_i\) ，每一株也有它自身的价值 \(v_i\) 。我会给你一段时间 T，在这段时间里，你可以采到一些草药。让采到的草药的总价值最大。
我不会动态规划，只会搜索，我就会直接写一个粗暴的 DFS :
- 注：为了方便食用，本文中所有代码省略头文件
int n, t;
int tcost[103], mget[103];
int ans = 0;
void dfs(int pos, int tleft, int tans) {
if (tleft < 0) return;
if (pos == n + 1) {
ans = max(ans, tans);
return;
}
dfs(pos + 1, tleft, tans);
dfs(pos + 1, tleft - tcost[pos], tans + mget[pos]);
}
int main() {
cin >> t >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> tcost[i] >> mget[i];
dfs(1, t, 0);
cout << ans << endl;
return 0;
}
这就是个十分智障的大暴搜是吧 ......
emmmmmm....... \(30\) 分
然后我心血来潮，想不借助任何 "外部变量"（就是 dfs 函数外且 值随 dfs 运行而改变的变量 ), 比如 ans
把 ans 删了之后就有一个问题：我们拿什么来记录答案？
答案很简单：
返回值！
此时 \(dfs(pos,tleft)\) 返回在时间 \(tleft\) 内采集 后 \(pos\) 个草药，能获得的最大收益
不理解就看看代码吧：
int n, time;
int tcost[103], mget[103];
int dfs(int pos, int tleft) {
if (pos == n + 1) return 0;
int dfs1, dfs2 = -INF;
dfs1 = dfs(pos + 1, tleft);
if (tleft >= tcost[pos]) dfs2 = dfs(pos + 1, tleft - tcost[pos]) + mget[pos];
return max(dfs1, dfs2);
}
int main() {
cin >> time >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> tcost[i] >> mget[i];
cout << dfs(1, time) << endl;
return 0;
}
emmmmmm....... 还是 \({30}\) 分
但这个时候，我们的程序已经不依赖任何外部变量了。
然后我非常无聊，将所有 dfs 的返回值都记录下来，竟然发现……
震惊，对于相同的 pos 和 tleft,dfs 的返回值总是相同的！
想一想也不奇怪，因为我们的 dfs 没有依赖任何外部变量。
旁白：像 \(tcost[103]\) , \(mget[103]\) 这种东西不算是外部变量，因为它们的值在 dfs 过程中不会被改变。
然后？
开个数组 \(mem\) , 记录下来每个 \(dfs(pos,tleft)\) 的返回值。刚开始把 \(mem\) 中每个值都设成 \(-1\) （代表没访问过）。每次刚刚进入一个 dfs 前（我们的 dfs 是递归调用的嘛），都检测 \(mem[pos][tleft]\) 是否为 \(-1\) , 如果是就正常执行并把答案记录到 \(mem\) 中，否则？
直接返回 \(mem\) 中的值！
int n, t;
int tcost[103], mget[103];
int mem[103][1003];
int dfs(int pos, int tleft) {
if (mem[pos][tleft] != -1) return mem[pos][tleft];
if (pos == n + 1) return mem[pos][tleft] = 0;
int dfs1, dfs2 = -INF;
dfs1 = dfs(pos + 1, tleft);
if (tleft >= tcost[pos]) dfs2 = dfs(pos + 1, tleft - tcost[pos]) + mget[pos];
return mem[pos][tleft] = max(dfs1, dfs2);
}
int main() {
memset(mem, -1, sizeof(mem));
cin >> t >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> tcost[i] >> mget[i];
cout << dfs(1, t) << endl;
return 0;
}
此时 \(mem\) 的意义与 dfs 相同：
在时间 \(tleft\) 内采集 后 \(pos\) 个草药，能获得的最大收益
这能 ac ?
能。 这就是 "采药" 那题的 AC 代码
好我们 yy 出了记忆化搜索
总结一下记忆化搜索是啥：
- 不依赖任何 外部变量
- 答案以返回值的形式存在，而不能以参数的形式存在（就是不能将 dfs 定义成 \(dfs(pos ,tleft , nowans )\) , 这里面的 nowans 不符合要求）。
- 对于相同一组参数，dfs 返回值总是相同的
记忆化搜索与动态规划的关系：
有人会问：记忆化搜索难道不是搜索？
是搜索。但个人认为她更像 dp :
不信你看 \(mem\) 的意义：
在时间 \(tleft\) 内采集 后 \(pos\) 个草药，能获得的最大收益
这不就是 dp 的状态？
由上面的代码中可以看出：
\(mem[pos][tleft] = max(mem[pos+1][tleft-tcost[pos]]+mget[pos]\ ,\ mem[pos+1][tleft])\)
这不就是 dp 的状态转移？
个人认为：
记忆化搜索约等于动态规划， （印象中）任何一个 dp 方程都能转为记忆化搜索
大部分记忆化搜索的状态/转移方程与 dp 都一样，时间复杂度/空间复杂度与 不加优化的 dp 完全相同
比如：
\(dp[i][j][k] = dp[i+1][j+1][k-a[j]] + dp[i+1][j][k]\)
转为
int dfs(int i, int j, int k) {
// 判断边界条件
if (mem[i][j][k] != -1) return mem[i][j][k];
return mem[i][j][k] = dfs(i + 1, j + 1, k - a[j]) + dfs(i + 1, j, k);
}
int main() {
memset(mem, -1, sizeof(mem));
// 读入部分略去
cout << dfs(1, 0, 0) << endl;
}
如何写记忆化搜索
方法 I
- 把这道题的 dp 状态和方程写出来
- 根据他们写出 dfs 函数
- 添加记忆化数组
举例：
\(dp_{i} = max\{dp_{j}+1\}\quad 1 \leq j < i and a_{j}
转为
int dfs(int i) {
if (mem[i] != -1) return mem[i];
int ret = 1;
for (int j = 1; j < i; j++)
if (a[j] < a[i]) ret = max(ret, dfs(j) + 1);
return mem[i] = ret;
}
int main() {
memset(mem, -1, sizeof(mem));
// 读入部分略去
cout << dfs(n) << endl;
}
方法 II
- 写出这道题的暴搜程序（最好是 dfs )
- 将这个 dfs 改成 "无需外部变量" 的 dfs
- 添加记忆化数组
举例：本文最开始介绍 "什么是记忆化搜索" 时举的 "采药" 那题的例子
记忆化搜索的优缺点
优点：
- 记忆化搜索可以避免搜到无用状态，特别是在有状态压缩时
举例：给你一个有向图（注意不是完全图），经过每条边都有花费，求从点 1 出发，经过每个点 恰好一次 后的最小花费（最后不用回到起点），保证路径存在。
dp 状态很显然：
设 \(dp_{pos,mask}\) 表示身处在 \(pos\) 处，走过 \(mask\) (mask 为一个二进制数）中的顶点后的最小花费
常规 \(dp\) 的状态数为 \(O(n\cdot 2^n)\) , 转移复杂度（所有的加在一起）为 \(O(m)\)
但是！如果我们用记忆化搜索，就可以避免到很多无用的状态，比如 \(pos\) 为起点却已经经过了 \(>1\) 个点的情况。
- 不需要注意转移顺序（这里的 "转移顺序" 指正常 dp 中 for 循环的嵌套顺序以及循环变量是递增还是递减）
举例：用常规 dp 写 "合并石子" 需要先枚举区间长度然后枚举起点，但记忆化搜索直接枚举断点（就是枚举当前区间由哪两个区间合并而成）然后递归下去就行
- 边界情况非常好处理，且能有效防止数组访问越界
- 有些 dp（如区间 dp) 用记忆化搜索写很简单但正常 dp 很难
- 记忆化搜索天生携带搜索天赋，可以使用技能 "剪枝"!
缺点：
- 致命伤：不能滚动数组！
- 有些优化比较难加
- 由于递归，有时效率较低但不至于 TLE（状压 dp 除外）
记忆化搜索的注意事项
- 千万别忘了加记忆化！（别笑，认真的
- 边界条件要加在检查当前数组值是否为非法数值（防止越界）
- 数组不要开小了（逃
模板
int g[MAXN];
int f(传入数值) {
if (g[规模] != 无效数值) return g[规模];
if (终止条件) return 最小子问题解;
g[规模] = f(缩小规模);
return g[规模];
}
int main() {
... memset(g, 无效数值, sizeof(g));
...
}