点分治详解
点分治是一个需要自己推导的算法，但是有板子，但是Cal这个函数根据不同题目是会变的。
点分治是解决树上求值的一种算法，比如说一棵树上路径距离(u,v)距离<=K距离(u,v)距离<=K的点对数量。
我们首先思考最笨的想法：
我们可以先求出所以路径长度，然后减去不满足的路径长度(也就是最近公共祖先不是跟的路径长度)。
DFS枚举子树，然后在DFS一趟计算这棵子树路径长度−−不满足的，然后排序找答案。
这样子看起来效率很高啊O(Nlog2N)O(Nlog2N)，但是对于一种数据就会很慢，链。如果树退化成了链的话，那么时间复杂度是O(N2)O(N2)的。
所以，点分治的想法，每次保证树的深度是平均的，也就是最大子树最小的点作为根节点。
其实也就这样，对于笨蛋想法的优化。
下面看一道例题：
POJ1741
【题目大意】
树上点对距离小于等于K的个数。
了解一下变量
int n,K;//题目给出
int Rot,RotSize;//根，当前子树大小
int Siz[MAXN]；//子树x的大小
int dst[MAXN];//路径长度
int Maxs[MAXN];//x为根最大子树大小
LL Ans;//答案
vector<int> Now;//路径
bool vis[MAXN];
struct Edge{//邻接表存边
int tot,lnk[MAXN],son[MAXN<<1],nxt[MAXN<<1],W[MAXN<<1];
void clean(){memset(lnk,0,sizeof(lnk));tot=0;}
void Add(int x,int y,int z){son[++tot]=y;W[tot]=z;nxt[tot]=lnk[x];lnk[x]=tot;}
}E;首先我们要找出根节点
子节点的大小好求，父节点所在的子树大小怎么办呢？
其实很好求，树的大小−−x的子树大小。
void Get_Rot(int x,int fa){
Siz[x]=1;Maxs[x]=0;
for(int j=E.lnk[x];j;j=E.nxt[j])
if(!vis[E.son[j]]&&E.son[j]!=fa){
Get_Rot(E.son[j],x);
Siz[x]+=Siz[E.son[j]];
Maxs[x]=max(Siz[E.son[j]],Maxs[x]);
}
Maxs[x]=max(Maxs[x],RotSize-Siz[x]);
if(Maxs[x]然后就是求路径的长度，那么DFS去刷就可以了
void Get_Dst(int x,int f){
Siz[x]=1;Now.push_back(dst[x]);
for(int j=E.lnk[x];j;j=E.nxt[j])
if(E.son[j]!=f&&!vis[E.son[j]]){
dst[E.son[j]]=dst[x]+E.W[j];
Get_Dst(E.son[j],x);Siz[x]+=Siz[E.son[j]];
}
}接下来就是计算了
int Cal(int x,int y){
int Ret=0;
Now.clear();dst[x]=y;Get_Dst(x,0);//先求出路径长度
sort(Now.begin(),Now.end());//然后排序找这个<=K的值
for(int l=0,r=Now.size()-1;lwhile(Now[l]+Now[r]>K&&lreturn Ret;
} 枚举子树
void Solve(int x){
Ans+=Cal(x,0);vis[x]=1;//容斥的想法，计算所有答案
for(int j=E.lnk[x];j;j=E.nxt[j])
if(!vis[E.son[j]]){
Ans-=Cal(E.son[j],E.W[j]);//减去不满足答案
Maxs[0]=RotSize=Siz[E.son[j]];Rot=0;
Get_Rot(E.son[j],0);Solve(Rot);
}
}下面贴上完整代码：
#includevoid Get_Dst(int x,int f){
Siz[x]=1;Now.push_back(dst[x]);
for(int j=E.lnk[x];j;j=E.nxt[j])
if(E.son[j]!=f&&!vis[E.son[j]]){
dst[E.son[j]]=dst[x]+E.W[j];
Get_Dst(E.son[j],x);Siz[x]+=Siz[E.son[j]];
}
}
int Cal(int x,int y){
int Ret=0;
Now.clear();dst[x]=y;Get_Dst(x,0);
sort(Now.begin(),Now.end());
for(int l=0,r=Now.size()-1;lwhile(Now[l]+Now[r]>K&&lreturn Ret;
}
void Solve(int x){
Ans+=Cal(x,0);vis[x]=1;
for(int j=E.lnk[x];j;j=E.nxt[j])
if(!vis[E.son[j]]){
Ans-=Cal(E.son[j],E.W[j]);
Maxs[0]=RotSize=Siz[E.son[j]];Rot=0;
Get_Rot(E.son[j],0);Solve(Rot);
}
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("POJ1741.in","r",stdin);
freopen("POJ1741.out","w",stdout);
#endif
while(scanf("%d%d",&n,&K),n||K){
memset(vis,0,sizeof(vis));
E.clean();
for(int i=1;iint x,y,z;scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
E.Add(x,y,z);E.Add(y,x,z);
}
Ans=0;Maxs[0]=RotSize=n;Rot=0;
Get_Rot(1,0);Solve(Rot);
printf("%lld\n",Ans);
}
return 0;
}