要证明欧几里得算法原理，首先需要证明下面两个定理(其中a，b都是整数)：
1 如果c可以整除a，同时c也可以整除b，那么c就可以整除au + bv(u，v是任意的整数)。
这个定理的证明很简单，$\frac{au + bv}{c} = u\frac{a}{c} + v\frac{b}{c}$，因为c可以整除a、b，那么可以得到c可以整除au + bv。
2 如果a = qb + r，那么gcd(a, b) = gcd(b, r)。
证明如下:
因为a = qb + r，那么根据定理1，任何可以整除b，r的公因数，一定也可以整除a，也就是说b，r的公因数都是a，b的公因数；同理，因为r = a - qb，那么根据定理1，任何可以整除a，b的公因数，一定也可以整除r，也就是说a，b的公因数，同时也是b，r的公因数。因此，整数对a、b与整数对b、r有相同的公因数，于是也就有相同的最大公因数。定理得证。
那么接下来证明欧几里得算法。
如果a = q1b + r1，0 <= r1 < b；
同时b = q2r1 + r2，0 <= r2 < r1;
同时r1 = q3r2 + r3, 0 <= r3 < r2;
....
这样不停的分解下去，由于b > r1 > r2 > ... >= 0，那么这样分解下去的结果，必然会有一个rn = 0，这里分解结束。也就是说最后两步分解一定是:
rn-3 = qn-1rn-2 + rn-1 0 < rn-1 < rn-2;
rn-2 = qnrn-1 + rn，其中rn = 0
根据上面的定理2，gcd(a, b) = gcd(b, r1) = gcd(r1, r2) = ... = gcd(rn-2, rn-1)。由于rn-1可以整除rn-2，那么rn-1就是最大公因数。
上面的欧几里得算法证明当中，假设了a > 0， b > 0，但是这对证明没有影响，因为很容易知道:gcd(a, b) = gcd(-a, b) = gcd(a, -b) = gcd(-a ,-b)，所以我们只需要证明a >0, b > 0的情形就可以了。
另外补充一点就是，根据除法定理:
对于任意整数a和b,其中b != 0，那么一定存在一组整数，使得：
a = qb + r, 其中0 <= r <|b|。