BZOJ3132 上帝造题的七分钟题解（树状数组+差分）

题目：BZOJ3132.
题目大意：给定一个$n\ast m$的矩阵初始全为$0$，现在有$m$个操作可能为：
1.给一个子矩阵加上一个数.
2.询问某个子矩阵的和.
$1\le n,m\le 2048$，询问数$q\le 2\ast 10^5$.

我们可以维护这个矩阵的差分数组$A_{i,j}=a_{i,j}-a_{i-1,j}-a_{i,j-1}+a_{i-1,j-1}$，那么矩阵加就变为四个单点加，但询问变复杂了.

我们考虑只需要求出$(1,1)$到$(x,y)$的子矩阵和，那么有：
$$\sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^y{a}_{i,j}=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sum _{k=1}^i\sum _{t=1}^j{A}_{k,t}=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{A}_{k,t}(x-i+1)(y-j+1)$$

我们把括号内的系数展开：
$$(x-i+1)(y-j+1)=xy-x(j-1)-y(i-1)+(i-1)(j-1)$$

我们只要用四个树状数组分别维护$A_{i,j},A_{i,j}(i-1),A_{i,j}(j-1),A_{i,j}(i-1)(j-1)$即可.

时间复杂度$O(q\log n\log m)$.

代码如下：

#include
using namespace std;
 
typedef long long LL;
 
const int N=2048;
 
char Rc(){
  char c=getchar();
  for (;c^'X'&&c^'L'&&c^'k'&&c!=EOF;c=getchar());
  return c;
}
 
int Ri(){
  int x=0,y=1;
  char c=getchar();
  for (;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if (c=='-') y=-1;
  for (;c<='9'&&c>='0';c=getchar()) x=x*10+c-'0';
  return x*y;
}
 
int n,m;
 
void into(){
  Rc();n=Ri();m=Ri();
}
 
int c[4][N+9][N+9];
 
void Add(int id,int x,int y,int v){
  for (int i=x;i<=n;i+=i&-i)
    for (int j=y;j<=m;j+=j&-j) c[id][i][j]+=v;
}
 
void Add(int x,int y,int v){
  Add(0,x,y,v);
  Add(1,x,y,v*(x-1));
  Add(2,x,y,v*(y-1));
  Add(3,x,y,v*(x-1)*(y-1));
}
 
int Query(int id,int x,int y){
  int res=0;
  for (int i=x;i;i-=i&-i)
    for (int j=y;j;j-=j&-j) res+=c[id][i][j];
  return res;
}
 
int Query(int x,int y){
  int res=0;
  res+=x*y*Query(0,x,y);
  res-=y*Query(1,x,y);
  res-=x*Query(2,x,y);
  res+=Query(3,x,y);
  return res;
}
 
void getans(){
  char opt;
  for (;(opt=Rc())!=EOF;){
    int x0,y0,x1,y1;
    x0=Ri();y0=Ri();x1=Ri();y1=Ri();
    if (opt=='L'){
      int v=Ri();
      Add(x0,y0,v);
      Add(x0,y1+1,-v);
      Add(x1+1,y0,-v);
      Add(x1+1,y1+1,v);
    }else{
      int ans=0;
      ans+=Query(x1,y1);
      ans-=Query(x1,y0-1);
      ans-=Query(x0-1,y1);
      ans+=Query(x0-1,y0-1);
      printf("%d\n",ans);
    }
  }
}
 
int main(){
  into();
  getans();
  return 0;
}