树分治-点分治

前言

很久以前就学过树分治，但是掌握不熟练（其实是弃坑了）
所以现在重新拾起这个算法，终于填坑完成……
发现还是挺简单的

正文

树分治，是用于统计树上路径的算法

POJ1741就是一个很好的例子
下面会以此题为例，详细讲解树分治

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树分治分为两种：点分治与边分治
点分治：每次找一个点，分治所有以它的儿子为根的子树
边分治：每次找一条边，分治它连接的两个点为根的子树

由于边分治容易被特殊数据卡，所以一般使用点分治
下面也是用点分治实现

前面提到点分治的效率比较稳定，是因为它每次用来分治的点是有讲究的：选择树的“重心”来分治
树的重心：若将某点设为根后，最大子树最小，那么此点就是树的重心

用反证法易得：重心的最大子树不大于整棵树的一半
也就是说，每次选择重心分治，树的大小至少减去一半
这样点分治的复杂度最坏就是 O(NlogN)
就保证了效率的稳定性

根据重心的定义，可以很容易用一次DFS找到重心
代码实现：

void get_hvy(int x,int fa){
    siz[x]=1;MAX[x]=0;
    for (int j=lnk[x];j;j=nxt[j])
     if (son[j]!=fa&&!vis[son[j]]){
        get_hvy(son[j],x);
        siz[x]+=siz[son[j]];
        MAX[x]=max(MAX[x],siz[son[j]]);
     }
    MAX[x]=max(MAX[x],S-siz[x]);
    if (!hvy||MAX[x]

（hvy表示当前的重心，S表示当前树的大小，都是全局变量）

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再来看树分治的核心部分。

对于当前处理的树，统计经过树根的路径
但是有不符合题意的路径（路径的两个端点在同一子树，不是简单路径）
所以再以每个儿子为根，计算一次，减去即可（注意要带上权值w）
然后对子树找重心，递归处理
代码实现：

void get_ans(int x){
    vis[x]=1;ans+=get_sum(x,0);
    for (int j=lnk[x];j;j=nxt[j])
     if (!vis[son[j]]){
        ans-=get_sum(son[j],w[j]);
        hvy=0;S=siz[son[j]];get_hvy(son[j],0);
        get_ans(hvy);
     }
}

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具体如何统计经过树根的路径呢
先获得整棵树的深度，记为dep[]
那么对于任意点对（i，j）只要满足 dep[i]+dep[j]≤k 即可被统计
那么排序后用两个指针 O(N) 推一下就好了
代码实现：

void get_dep(int x,int fa){
    now[++now[0]]=dep[x];
    for (int j=lnk[x];j;j=nxt[j])
     if (fa!=son[j]&&!vis[son[j]]){
        dep[son[j]]=dep[x]+w[j];
        get_dep(son[j],x);
    }
}
int get_sum(int x,int dst){
    now[0]=0;int res=0;
    dep[x]=dst;get_dep(x,0);
    sort(now+1,now+1+now[0]);
    for (int i=1,j=now[0];i<=now[0];i++){
        while (j>i&&now[i]+now[j]>k) j--;
        res+=max(0,j-i);
    }
    return res;
}

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完整代码：

#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn=10005,maxe=2*maxn;
int n,k,hvy,S,ans;
int tot,lnk[maxn],nxt[maxe],son[maxe],w[maxe];
int siz[maxn],now[maxn],dep[maxn],MAX[maxn];
bool vis[maxn];
inline char nc(){
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int red(){
    int res=0,f=1;char ch=nc();
    while (ch<'0'||'9'if (ch=='-') f=-f;ch=nc();}
    while ('0'<=ch&&ch<='9') res=res*10+ch-48,ch=nc();
    return res*f;
}
void add(int x,int y,int z){
    son[++tot]=y;nxt[tot]=lnk[x];lnk[x]=tot;w[tot]=z;
}
void get_hvy(int x,int fa){
    siz[x]=1;MAX[x]=0;
    for (int j=lnk[x];j;j=nxt[j])
     if (son[j]!=fa&&!vis[son[j]]){
        get_hvy(son[j],x);
        siz[x]+=siz[son[j]];
        MAX[x]=max(MAX[x],siz[son[j]]);
     }
    MAX[x]=max(MAX[x],S-siz[x]);
    if (!hvy||MAX[x]void get_dep(int x,int fa){
    now[++now[0]]=dep[x];
    for (int j=lnk[x];j;j=nxt[j])
     if (fa!=son[j]&&!vis[son[j]]){
        dep[son[j]]=dep[x]+w[j];
        get_dep(son[j],x);
    }
}
int get_sum(int x,int dst){
    now[0]=0;int res=0;
    dep[x]=dst;get_dep(x,0);
    sort(now+1,now+1+now[0]);
    for (int i=1,j=now[0];i<=now[0];i++){
        while (j>i&&now[i]+now[j]>k) j--;
        res+=max(0,j-i);
    }
    return res;
}
void get_ans(int x){
    vis[x]=1;ans+=get_sum(x,0);
    for (int j=lnk[x];j;j=nxt[j])
     if (!vis[son[j]]){
        ans-=get_sum(son[j],w[j]);
        hvy=0;S=siz[son[j]];get_hvy(son[j],0);
        get_ans(hvy);
     }
}
int main(){
    for (n=red(),k=red();n||k;n=red(),k=red()){
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        memset(lnk,0,sizeof(lnk));tot=0;
        for (int i=1,x,y,z;i0;S=n;get_hvy(1,0);
        ans=0;get_ans(hvy);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

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附：点分治相关题目BZOJ2152