哈密顿路存在问题

题目：zoj3332，10年浙江省赛的一道题

大意：给100个点，任意两点有且仅有一条有向边，请输出任意一条哈密顿通路，如果没有，输出impossible

（ps:传说中暴搜也可以过的题）

 

题目中的图叫做竞赛图

定理1：n(n>=2)阶竞赛图一定存在哈密顿通路

证明转载自http://web.nuist.edu.cn/courses/lssx/longtime/part4/chapter15/15_02_03_02.htm

证 对n作归纳法。n=2时，D的基图为K₂，结论成立。设n=k时结论成立。现在设n=k+1.设V(D)={v₁,v₂,…,v_k,v_k+1}。令D₁=D-v_k+1，易知D₁为k阶竞赛图，由归纳假设可知，D₁存在哈密顿通路，设Г₁=v'₁v'₂…v'_k为其中一条。下面证明v_k+1可扩到Г₁中去。若存在v'_r（1≤r≤k），有i,v_k+1>∈E(D)，i=1,2,…,r-1，而k+1,v'_r>∈E(D)，见图15.8（1）所示，则Г=v'₁v'₂…v'_r-1v_k+1v'_r…v'_k为D中哈密顿通路。否则，i∈{1,2,…,k}，均有i,v_k+1>∈E(D)，见下图所示，则Г=Г'∪k,v_k+1>为D中哈密顿通路。

 

 

 

 

 

证明了这个定理后问题就简单了。可以依次从1~N遍历所有的点。当v=1时成立。之后根据上述定理，每次循环开始时都维持着一条哈密顿路，直到循环结束。具体实现可以用链表来模拟。

 

 

另：

无向图中存在哈密顿路的充要条件：

定理2 设G是n阶无向简单图，若对于G中任意不相邻的顶点v_i,v_j，均有

　　　　d(v_i)+d(v_j)≥n-1　(15.1)      则G中存在哈密顿通路。

 

推论 设G为n(n≥3)阶无向简单图，若对于G中任意两个不相邻的顶点v_i,v_j，均有

　　　　d(v_i)+d(v_j)≥n　(15.2)则G中存在哈密顿回路，从而G为哈密顿图。

 

例题：例15.5 在某此国际会议的预备会议中，共有8人参加，他们来自不同的国家。已知他们中任何两个无共同语言的人中的每一个，与其余有共同语言的人数之和大于或等于8，问能否将这8个人排在圆桌旁，使其任何人都能与两边的人交谈。

 

解：解 设8个人分别为v₁,v₂,…,v₈，作无向简单图G=，其中V={v₁,v₂,…,v₈}，v_i,v_j∈V，且i≠j，若v_i与v_j由共同语言，就在v_i,v_j之间连无向边（v_i,v_j），由此组成边集合E，则G为8阶无向简单图， v_i∈V，d(v_i)为与v_i有共同语言的人数。由已知条件可知，v_i,v_j∈V且i≠j，均有d(v_i)+d(v_j)≥8.由推论可知，G中存在哈密顿回路，设C=为G中一条哈密顿回路，按这条回路的顺序安排座次即可。