图论（六）——生成树数量计算&&矩阵树定理求解生成树个数

一、生成树的概念和性质

\quad 定义：图G的一个生成子图T如果是树，称它为G的一棵生成树；若T为森林，称它为G的一个生成森林。(生成子图：包含原图所有顶点，边不管)

• 生成树不唯一
• 生成树的边称为树枝，G中非生成树的边称为弦

1、每个连通图至少包含一棵生成树

\quad 证明：如果连通图G是树，则其本身是一棵生成树；若连通图G中有圈C，则去掉C中一条边后得到的图仍然是连通的，这样不断去掉G中圈，最后得到一个G的无圈连通子图T，它为G的一棵生成树。

二、生成树的计数

1、凯莱递推计数法

\quad 设$e$是图$G$的一条边，$\tau (G)$为$G$生成树个数，则
$$\tau (G)=\tau (G-e)+\tau (G\cdot e)$$
\quad 其中，$G\cdot e$是指删掉e后，把e的两个端点重合，如此得到的图记为$G\cdot e$。缺点是计算量大（指数级），且不能具体指出每棵生成树。

2、关联矩阵计数法

3、矩阵树方法

\quad 设$D(G)$为图的度对角矩阵，$A(G)$为图的领接矩阵，则$C=D(G)-A(G)$的任意一个余子式的值即为图$G$的生成树个数。$C$也成为拉式矩阵。
举个例子：

\quad 则上图生成树个数为3。
\quad 完全图$k_n$的生成树个数为$n^{n-2}$。
\quad 若e为$K_n$的一条边，则：$\tau (K_n-e)=(n-2)n^{n-3}$
证明：$K_n$有$n^{n-2}$个生成树，生成树总边数为$(n-1)n^{n-2}$，意味着每条边对应生成树个数为$\frac{(n-1)n^{n-2}}{\frac{1}{2}n(n-1)}=2n^{n-3}$，因此去除一条边后$\tau (K_n-e)=n^{n-2}-2n^{n-3}=(n-2)n^{n-3}$。

三、编程实现矩阵树方法

\quad 实现方法很简单，第一步是构建拉氏矩阵，很简单。难点在于实现求行列式的值。我这里采用矩阵初等变换将矩阵转化为上三角矩阵，这样行列式的值就等于主对角元素乘积。我实现了打印拉氏矩阵C和输出图生成树个数这两个方法，主体程序如下：

#include

using namespace std;

class spanningTreeNum {
private:
    int V = 0;  // 顶点数
    vector > c; // 拉式矩阵c=d-A
public:
    spanningTreeNum(int V)
    {
        this->V = V;
        c = vector >(V, vector(V, 0));  //初始化二维矩阵c为0
    }
    void addEdge(int u, int v);  // u和v之间加一条边
    int getTreeNum();
    int det(vector > A);  // 求行列式A的值
    void showC();
};

void spanningTreeNum::addEdge(int u, int v) {
    c[u][u]++;  // 顶点度数加一
    c[v][v]++;
    c[u][v] = -1;  // 表示顶点u、v之间有一条边，因为c=d-A，所以为-1
    c[v][u] = -1;
}

int spanningTreeNum::det(vector > A) {
    /*
     * 思路是将利用初等变换A转化为上三角矩阵，这样对角线元素乘积即为行列式值
     */
    float res = 1;
    int iter = 0;  // 记录交换次数
    for (int i = 0; i < A.size(); ++i) {
        if(A[i][i]==0)
        {
            for (int j = i; j < A.size(); ++j) {
                if(A[j][i]!=0) {
                    swap(A[i], A[j]);
                    iter++;
                }
            }
        }
        for (int j = i+1; j < A.size(); ++j) {
            float temp = -A[j][i]/A[i][i];
            for (int k = 0; k < A[j].size(); ++k) {
                A[j][k] = A[i][k]*temp+A[j][k];
            }
        }
    }
    for (int i = 0; i < A.size(); ++i) {
        res *= A[i][i];
    }
    if(iter%2==1) res = -res;
    return (int)res;
}
int spanningTreeNum::getTreeNum() {
    // 求余子式
    vector > temp(V-1, vector(V-1, 0));
    for (int i = 1; i < V; ++i) {
        for (int j = 1; j < V; ++j) {
            temp[i-1][j-1] = c[i][j];
        }
    }
    return det(temp);
}

void spanningTreeNum::showC() {
    for (int i = 0; i < c.size(); ++i) {
        for (int j = 0; j < c[i].size(); ++j) {
            printf("%3d ", c[i][j]);
        }
        cout << endl;
    }
}

\quad 以下图为例，我们来测试下程序

int main()
{
    spanningTreeNum G(4);
    G.addEdge(0, 1);
    G.addEdge(0, 2);
    G.addEdge(1, 2);
    G.addEdge(2, 3);

    cout << "拉氏矩阵为：" << endl;
    G.showC();  //打印拉式矩阵C
    cout << "生成树个数为：" << G.getTreeNum() << endl; // 打印生成树个数
    return 0;
}

\quad 运行结果：