范数

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可以从函数、几何与矩阵的角度去理解范数。

我们都知道，函数与几何图形往往是有对应关系的，这个很好想象，特别是在三维以下的空间内，函数是几何图像的数学概括，而几何图像是函数的高度形象化，比如一个函数对应几何空间上若干点组成的图形。
但当函数与几何超出三维空间时，就难以获得较好的想象，于是就有了映射的概念，映射表达的就是一个集合通过某种关系转为另外一个集合。通常数学书是先说映射，然后再讨论函数，这是因为函数是映射的一个特例。
为了更好的在数学上表达这种映射关系，（这里特指线性关系）于是就引进了矩阵。这里的矩阵就是表征上述空间映射的线性关系。而通过向量来表示上述映射中所说的这个集合，而我们通常所说的基，就是这个集合的最一般关系。于是，我们可以这样理解，一个集合（向量），通过一种映射关系（矩阵），得到另外一个集合（另外一个向量）。

那么向量的范数表示这个原有集合的大小。

矩阵的范数表示这个变化过程的大小的一个度量。

简单说：0范数表示向量中非零元素的个数（即为其稀疏度）。1范数表示为，绝对值之和。而2范数则指模。

• 向量范数
  

1-范数： 

，即向量元素绝对值之和，matlab调用函数norm(x, 1) 。

2-范数：

，Euclid范数（欧几里得范数，常用计算向量长度），即向量元素绝对值的平方和再开方，matlab调用函数norm(x, 2)。

-范数：，即所有向量元素绝对值中的最大值，matlab调用函数norm(x, inf)。

-范数：

，即所有向量元素绝对值中的最小值，matlab调用函数norm(x, -inf)。

p-范数：
，即向量元素绝对值的p次方和的1/p次幂，matlab调用函数norm(x, p)。

• 矩阵范数
  

1-范数：
， 列和范数，即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值，matlab调用函数norm(A, 1)。

2-范数：，为的最大特征值。

，谱范数，即A'A矩阵的最大特征值的开平方。matlab调用函数norm(x, 2)。

-范数：

，行和范数，即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值，matlab调用函数norm(A, inf)。

F-范数：

，Frobenius范数，即矩阵元素绝对值的平方和再开平方，matlab调用函数norm(A, ’fro‘)。

核范数：是A的奇异值。

即奇异值之和。

Lp范数是常用的正则化项，其中L2范数|w|2倾向于w的分量取值尽量均衡，即非零分量个数尽量稠密，而L0范数与L1范数则是倾向于w的分量尽量稀疏，即非零分量个数尽量少。