勾股数的一些性质

参考：勾股数的基本组及其性质

定义1
如果正整数 a , b , c 能满足不定方程 a2+b2=c2 ，则它们叫一组勾股数，用 [a,b,c] 表示。
定义2
如果 [a,b,c] 为一勾股数组，且 (a,b)=1 ，则 [a,b,c] 叫一个勾股数的基本组；全体勾股数的基本组用集合 A 表示。
定义3
若 [a,b,c] 为一勾股数的基本组，则 [ka,kb,kc] 叫一勾股数的导出组，其中 k∈N+

定理1
若 [a,b,c]∈A ，则 (a,b)=(a,c)=(b,c)=(a,b,c)=1
定理2
若 [a,b,c] 为一勾股数组，且 (a,b)=d>1 ，则 [a,b,c] 为一勾股数的导出组。

定理3
若 [a,b,c]∈A ，则 a 与 b 一奇一偶， c 为奇数。

定理4
一切勾股数的基本组可用下述公式表示：
a=2mn,b=m2−n2,c=m2+n2 ，其中 m,n 为正整数且 m>n ， (m,n)=1 ，一奇一偶。

定理5
若 a2+b2=c2 ， (a,b,c)=(a,b)=(b,c)=(a,c)=1 ，则对于 c−a 和 c−b ，一个是完全平方数 x2 ，一个是完全平方数的两倍 2y2