[HNOI2019]白兔之舞
题解
我们枚举 y y y 坐标序列，并使用组合数计算 x x x 坐标序列的个数，所以我们要对 ∀ 0 ≤ t < k \forall 0\le t
∑ m m o d k = t ∑ a 0 = x , a 1 , a 2 , ⋯ , a m = y ( L m ) ∏ i = 1 m − 1 w ( a i , a i + 1 ) \sum_{m\bmod k=t} \sum_{a_0=x,a_1,a_2,\cdots,a_m=y} \binom{L}{m} \prod_{i=1}^{m-1} w(a_i,a_{i+1}) mmodk=t∑a0=x,a1,a2,⋯,am=y∑(mL)i=1∏m−1w(ai,ai+1)
求出，由于 n n n 很小容易联想到矩阵乘法，令 G G G 为给定矩阵，则将上式改写为
[ G x , y ] ∑ m m o d k = t ( L m ) G m [G_{x,y}] \sum_{m\bmod k=t} \binom{L}{m} G^m [Gx,y]mmodk=t∑(mL)Gm
（dbq， [ G x , y ] [G_{x,y}] [Gx,y] 这个记号是我瞎掰的）
令 ω \omega ω 为 k k k 次单位根，作用单位根反演：
[ G x , y ] ∑ m ≥ 0 ( L m ) G m 1 k ∑ j = 0 k − 1 ω ( m − t ) j = [ G x , y ] 1 k ∑ j = 0 k − 1 ω − t j ( G ω j + I ) L \begin{aligned} & [G_{x,y}] \sum_{m\ge 0} \binom{L}{m} G^m \frac{1}{k} \sum_{j=0}^{k-1} \omega^{(m-t)j} \\ &= [G_{x,y}] \frac{1}{k} \sum_{j=0}^{k-1} \omega^{-tj} (G\omega^{j}+I)^L \end{aligned} [Gx,y]m≥0∑(mL)Gmk1j=0∑k−1ω(m−t)j=[Gx,y]k1j=0∑k−1ω−tj(Gωj+I)L
令 t j = [ G x , y ] ( G ω j + 1 ) L t_j=[G_{x,y}](G\omega^j+1)^L tj=[Gx,y](Gωj+1)L，使用技巧 i j = ( i + j 2 ) − ( i 2 ) − ( j 2 ) ij=\binom{i+j}{2}-\binom{i}{2}-\binom{j}{2} ij=(2i+j)−(2i)−(2j)，于是上式化为
1 k ∑ j = 0 k − 1 ω − ( t + j 2 ) + ( t 2 ) + ( j 2 ) t j = 1 k ω ( t 2 ) ∑ j = 0 k − 1 ( t j ω ( j 2 ) ) ω − ( t + j 2 ) \begin{aligned} & \frac{1}{k} \sum_{j=0}^{k-1} \omega^{-\binom{t+j}{2}+\binom{t}{2}+\binom{j}{2}}t_j \\ &= \frac{1}{k} \omega^{\binom{t}{2}} \sum_{j=0}^{k-1} (t_j\omega^{\binom{j}{2}})\omega^{-\binom{t+j}{2}} \end{aligned} k1j=0∑k−1ω−(2t+j)+(2t)+(2j)tj=k1ω(2t)j=0∑k−1(tjω(2j))ω−(2t+j)
将其中一个序列反转，比如令 f j = t j ω ( j 2 ) = [ G x , y ] ( G ω j + I ) L ω ( j 2 ) ( 0 ≤ j < k ) , g 2 k − 2 − j = ω − ( j 2 ) f_j=t_j\omega^{\binom{j}{2}}=[G_{x,y}](G\omega^{j}+I)^L\omega^{\binom{j}{2}} (0\le j
1 k ω ( t 2 ) ∑ j = 0 k − 1 f j g 2 k − 2 − t − j \frac{1}{k} \omega^{\binom{t}{2}} \sum_{j=0}^{k-1} f_jg_{2k-2-t-j} k1ω(2t)j=0∑k−1fjg2k−2−t−j
由于我们只用到了单位根反演中的性质，且 k ∣ ( p − 1 ) k|(p-1) k∣(p−1)，所以我们可以使用模 p p p 意义下的原根 g g g 代替单位根。
接下来我们需要进行模 p p p 意义下的卷积，使用 MTT 或者三模 NTT 都可以解决。 O ( k log k ) O(k\log k) O(klogk)。
代码
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