点分治详解

今天做了一道点分治的题目，所以就去网上学了一下。

相信大家都听说过“分治”吧，分治就是“分而治之”一般是把n分成2份，然后再对每一份进行相同的操作，最后合并起来。

而点分治，一般情况下是在一棵树上面进行分治，和普通的分治大同小异。

先看一道例题

【题意】
给定一个有N个点（编号1,2,…,N）的树，每条边都有一个权值（不超过1000）。
树上两个节点x与y之间的路径长度就是路径上各条边的权值之和。
求长度不超过K的路径有多少条。

poj 1741 – tree
【输入格式】
输入包含多组测试样例。
每组测试样例的第一行包含两个正整数N和K。
接下来N-1行，每行包含三个正整数u,v,l，表示节点u与v之间存在一条边，且边的权值为l。
当输入样例N=0，K=0时，表示输入终止，且该样例无需处理。
【输出格式】
每个测试样例输出一个结果。
每个结果占一行。

【数据范围】
N≤10000,K≤10^7
【输入样例】
5 4
1 2 3
1 3 1
1 4 2
3 5 1
0 0
【输出样例】
8

先是考虑暴力的解法，直接枚举每一个点，求lca，然后判断是否<=k，可以得10分

仔细想想，对于一个点来说，长度<=k的路径无非就只有两种：
1.经过该点
2.不经过该点
所以我们采取点分治的做法，先选1作为根节点，求出经过1且<=k的路径条数，然后删掉1，再对1的每个儿子进行重复操作
那么我们怎么求出路径的条数呢
设d[i]为i到根节点root的距离，其中d[root]=0
搜索求出d，对d从小到大排序
然后我们令指针l = 1, r = tp （tp为d中，点的个数）
如果 d[l] + d[r] <= k ，结果就加上r-l+1，然后l++
否则r- -
但是这样会出现一个问题，比如son是root的一个儿子，在son的子树中，有很多个加起来满足<=k的，而这些都不经过u，怎么办？？？
容斥原理！！！
对于每个儿子，令它的d不变，统计一次<=k的个数，从ans里面减去这个数就好了。
这样可以取得70分

为什么只有70呢
举个例子吧，如果树退化成链的话，这个做法就和暴力没有区别，时间复杂度$O(n^{2}logn)$
怎么办呢，因为这是一棵无根树，每一个点成为根节点都不会影响结果，所以我们每次都从当前的树种求出它的重心作为root，这样的话，无论树怎么样，都只有$logn$层，时间复杂度$O(nlo{g}^{2}n)$

这是形象的搜索过程

参考代码

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 10006;

int n, m, k, all, ans, root;
//m是为了好看，all表示当前的树中节点总数，root表示根节点 
int tot, Head[N], ver[N<<1], Leng[N<<1], Next[N<<1];
//储存边 
int max_part[N], size[N], d[N];
//max_part[i]表示删去i以后剩余的最大部分，size表示子树大小，d表示到根节点的距离 
int tp, sta[N];
//储存每个点到根节点的距离 
bool vis[N];
//判断这个点是否做过做过根节点（是否被删除） 

void Add(int u, int v, int w) {
	ver[++tot] = v;
	Leng[tot] = w;
	Next[tot] = Head[u];
	Head[u] = tot;
}

void Dfs1(int u, int fa) { //求重心 
	max_part[u] = 0, size[u] = 1;
	for (int i = Head[u]; i; i = Next[i]) {
		int v = ver[i];
		if (v == fa || vis[v]) continue;
		Dfs1(v, u);
		size[u] += size[v];
		max_part[u] = max(max_part[u], size[v]);
	}
	max_part[u] = max(max_part[u], all - max_part[u]);
	if (max_part[u] < max_part[root]) root = u;
}

void Dfs2(int u, int fa) { //记录深度 
	sta[++tp] = d[u];
	for (int i = Head[u]; i; i = Next[i]) {
		int v = ver[i];
		if (v == fa || vis[v]) continue;
		d[v] = d[u] + Leng[i];
		Dfs2(v, u);
	}
}

int Calc(int u, int now) { //统计总数 
	d[u] = now, tp = 0;
	Dfs2(u, 0);
	sort(sta + 1, sta + tp + 1);
	int sum = 0;
	for (int l = 1, r = tp; l < r; )
		if (sta[l] + sta[r] <= k)
			sum += r - l, l++;
		else r--;
	return sum;
}

void Solve(int u) { //以重心u为根节点，进行点分治 
	vis[u] = 1;
	ans += Calc(u, 0);
	for (int i = Head[u]; i; i = Next[i]) {
		int v = ver[i];
		if (vis[v]) continue;
		ans -= Calc(v, Leng[i]);
		all = size[v];
		root = 0;
		Dfs1(v, u);
		Solve(root);
	}
}

int main() {
	while(~scanf("%d%d", &n, &k) && n) {
		tot = 0, memset(Head, 0, sizeof(Head));
		memset(vis, 0, sizeof(vis));
		for (int i = 1, x, y, z; i < n; i++) {
			scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
			Add(x, y, z);
			Add(y, x, z);
		}
		all = n, max_part[0] = n, root = 0;
		ans = 0;
		Dfs1(1, 0);
		Solve(root);
		printf("%d\n", ans);
	}
	return 0;
}