Bresenham快速画直线算法(中文翻译+注释)
原文：https://www.cs.helsinki.fi/group/goa/mallinnus/lines/bresenh.html
基本Bresenham算法
考虑在光栅网格上绘制一条直线，这条直线的斜率是 0 ≤ m ≤ 1 0\leq m \leq 1 0≤m≤1。
斜率定义：假设直线起点是(x1, y1)，终点是(x2, y2)，则斜率=(y2-y1)/(x2-x1)。
如果我们进一步限制该绘制程序，使其在绘制时 x 值不断递增，那么很明显，在 (x, y) 处绘制一个点后，直线下一个点的位置范围非常有限：
- 可以是 (x+1, y)，
- 或者是 (x+1, y+1)。
所以，在平面的第一个八分之一区域画线，变成了每一步进行一次二选一的问题。
我们可以画出绘图程序在绘制 (x, y) 时发生的情况。
在绘制 (x, y) 时，通常情况下，直线上实际的数学点和像素网格不是一一对应的，绘制的点会有误差，绘制程序需要在绘制位置和屏幕实际分辨率之间做出折中。所以我们把每个 y 坐标和一个误差值 ϵ \epsilon ϵ 联系起来，y的实际值应该是 y + ϵ y + \epsilon y+ϵ。此误差值范围为 -0.5 到 +0.5。
从 x 移动到 x+1 时，让 y 坐标的值增加一个等于直线斜率 m 的量，如果这个新值与 y 之间的差小于 0.5，我们将绘制 (x+1, y)，否则绘制 (x+1, y+1)。很明显，通过这样做，可以将数学线段和实际绘制线段之间的总误差降到最小。
把这个新点产生的误差写回到 ϵ \epsilon ϵ，就可以在 x+2 处对下一个点重复整个过程。
新的误差值可以采用两个可能值中的一个，具体取决于绘制的新点。如果选择（x+1，y），新的误差值是：
ϵ n e w \epsilon_{new} ϵnew <— ( y + ϵ + m ) − y (y+\epsilon+m)-y (y+ϵ+m)−y
否则是：
ϵ n e w \epsilon_{new} ϵnew <— ( y + ϵ + m ) − ( y + 1 ) (y+\epsilon+m)-(y+1) (y+ϵ+m)−(y+1)
这种方法通过误差变量 ϵ \epsilon ϵ 来控制绘图，使DDA算法避免了舍入操作。
DDA的全称是Digital Differential Analyzer，即数值微分算法，是一种最简单的画直线算法。
ϵ \epsilon ϵ <— 0，y <— y 1 y_1 y1
For x x x <— x 1 x_1 x1 to x 2 x_2 x2 do
Plot point at ( x , y ) (x, y) (x,y)
If ( ϵ + m < 0.5 ) (\epsilon+m<0.5) (ϵ+m<0.5)
ϵ \epsilon ϵ <— ϵ + m \epsilon+m ϵ+m
Else
y y y <— y + 1 y+1 y+1， ϵ \epsilon ϵ <— ϵ + m − 1 \epsilon+m-1 ϵ+m−1
EndIf
EndFor
这里使用了浮点值。但是，如果我们将绘图测试的两边乘以 Δ x \Delta{x} Δx，然后再乘以2，会发生什么情况：
ϵ + m < 0.5 \epsilon+m<0.5 ϵ+m<0.5
ϵ + Δ y / Δ x < 0.5 \epsilon+\Delta{y}/\Delta{x}<0.5 ϵ+Δy/Δx<0.5
2 ϵ Δ x + 2 Δ y < Δ x 2\epsilon\Delta{x}+2\Delta{y}<\Delta{x} 2ϵΔx+2Δy<Δx
这个不等式中的所有量现在都是整数。
用 ϵ ′ \epsilon' ϵ′ 代替 ϵ Δ x \epsilon\Delta{x} ϵΔx，变成：
2 ( ϵ ′ + Δ y ) < Δ x 2(\epsilon'+\Delta{y})<\Delta{x} 2(ϵ′+Δy)<Δx
到这为止，通过整数计算，就能决定绘制哪个点了。
上面伪码中误差值的更新规则也可以用 ϵ ′ \epsilon' ϵ′ 表示，浮点数版本如下：
ϵ \epsilon ϵ <— ϵ + m \epsilon+m ϵ+m
ϵ \epsilon ϵ <— ϵ + m − 1 \epsilon+m-1 ϵ+m−1
两边都乘以 Δ x \Delta{x} Δx：
ϵ Δ x \epsilon\Delta{x} ϵΔx <— ϵ Δ x + Δ y \epsilon\Delta{x}+\Delta{y} ϵΔx+Δy
ϵ Δ x \epsilon\Delta{x} ϵΔx <— ϵ Δ x + Δ y − Δ x \epsilon\Delta{x}+\Delta{y}-\Delta{x} ϵΔx+Δy−Δx
转换成 ϵ ′ \epsilon' ϵ′ 形式：
ϵ ′ \epsilon' ϵ′ <— ϵ ′ + Δ y \epsilon'+\Delta{y} ϵ′+Δy
ϵ ′ \epsilon' ϵ′ <— ϵ ′ + Δ y − Δ x \epsilon'+\Delta{y}-\Delta{x} ϵ′+Δy−Δx
最后，使用这个新的误差值 ϵ ′ \epsilon' ϵ′，结合上面的变换过程，可以得到Bresenham的纯整数画线算法：
ϵ ′ \epsilon' ϵ′ <— 0 0 0， y y y <— y 1 y_1 y1
For x x x <— x 1 x_1 x1 to x 2 x_2 x2 do
Plot point at ( x x x, y y y)
If ( 2 ( ϵ ′ + Δ y ) < Δ x ) (2(\epsilon'+\Delta{y})<\Delta{x}) (2(ϵ′+Δy)<Δx)
ϵ ′ \epsilon' ϵ′ <— ϵ ′ + Δ y \epsilon'+\Delta{y} ϵ′+Δy
Else
y y y <— y + 1 y+1 y+1， ϵ ′ \epsilon' ϵ′ <— ϵ ′ + Δ y − Δ x \epsilon'+\Delta{y}-\Delta{x} ϵ′+Δy−Δx
EndIf
EndFor
- 仅整数-因此高效（快速）。
- 乘2可以用左移实现。
- 此版本仅限于第一个八分之一平面，斜率： 0 ≤ m ≤ 1 0\leq m \leq 1 0≤m≤1。
以下是这个算法的C++实现：
void linev6(Screen & s,
unsigned x1, unsigned y1,
unsigned x2, unsigned y2,
unsigned char colour)
{
int dx = x2 - x1,
dy = y2 - y1,
y = y1,
eps = 0;
for (int x = x1; x <= x2; x++ ) {
s.Plot(x, y, colour);
eps += dy;
if ((eps << 1) >= dx) {
y++; eps -= dx;
}
}
}
这是一个全整数函数，使用左移位进行乘法，并通过巧妙地使用eps变量来消除冗余操作。
不过，这个Bresenham算法的实现还不完整，它没有检查参数的有效性。而且，实际的实现不仅仅只适用于斜率在第一个八分之一平面的直线，而是应该能处理任意斜率的直线。