LeetCode 84 | 单调栈解决最大矩形问题

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今天是LeetCode专题第52篇文章，我们一起来看LeetCode第84题，Largest Rectangle in Histogram（最大矩形面积）。

这道题的官方难度是Hard，点赞3581，反对只有80，通过率在34.7%左右。从通过率上来看，难度其实还可以，并没有特别大，但是这道题的点赞比很高，说明题目的质量很好。实际上也的确如此，这题非常经典，我个人也非常推荐。建议大家有能力的都做一下本题，一定会很有收获。

题意

假设我们有一系列宽度相同都为1的矩形竖直地摆放在一起，请问摆放而成的这个图案所能围成的最大矩形的面积是多少？

比如上图当中，我们有6个矩形，它们的宽度都是1。我们能找到的最大矩形应该是中间5和6围成的矩形：

题目给定一个含有若干个整数的数字，表示这些矩形的高度，要求返回能找到的面积最大的矩形的面积。

样例

Input: [2,1,5,6,2,3]
Output: 10

区间求最值

拿到手应该能感受到这题的难度，我们一上来的确没有什么太好的思路，题目也比较明确，没有太多可以分析的入手点。所以我们可以先来思考一下最简单的解法。

最简单的解法就是找出能够围成的所有矩形，然后比较它们之间的面积，得出其中的最大面积。我们很容易可以想到可以遍历矩形的起始位置，这样就得到了矩形的宽。至于矩形的长也很简单，就是选定的这个区间段里的最低高度。

我们可以做一个小小的思路转换，假设这些矩形都是木条，我们是要选出木条来制作木桶。那么根据木桶效应，木桶围成的水的高度取决于最短的那根木条，同样围成矩形的面积的高取决于这些矩形当中最矮的那个。也就是说，当我们确定了区间之后，我们只需要找到区间里最小的数就可以了。所以这题就转化成了区间求最值的问题，比如上图当中，如果我们选择最后三个矩形，那么它的高度就是2。

我们假设一共有n个长条矩形可供选择，那么我们可以选出的首尾组合就是$C_n^2$，大概是n的平方量级个区间。对于每个区间，我们需要遍历它们中的元素获取最小值，这需要$O(n)$的遍历时间，所以整体的复杂度应该在$O(n^3)$量级。显然这是一个非常大的数量级，当n超过1000就很难计算出解了。

这个思路显然不够好，我们想要对它进行优化也不容易。比如说如果你学过线段树这类的数据结构，可能还会想到使用线段树，我们可以将每次求最小值的查询优化到$O(\log n)$，但即便如此最终的复杂度也很高。这是因为我们遍历区间首尾位置就耗费了$O(n^2)$，而这是很难优化的。所以这个思路的极限已经确定了，我们无法做出大的优化。

从这点出发，如果存在更好的解法，那么一定不是通过这种方式进行的。

逆向思维

上面的一种思路虽然不太可行，但是它提供了一种正向思路。我们搜索所有的区间，然后通过区间里的木条确定区围成矩形的高度，就得到了矩形的面积。

既然这条路走不通，我们能不能反向思考呢？我们假设我们找到了答案，它是区间[a, b]段的木条围成的矩形，它的高度是h。那么根据木桶效应，a到b区间段的木条当中一定有一根的长度是h。比如下图当中[5, 6, 2, 3]如果要围成矩形，那么高度只能是2。

既然如此，我们可以寻找以某根木条为短板所能构成的最大矩形。比如上图当中，如果我们以第一根木条去寻找，就只能找到它本身，所以这个矩形的面积就是1 x 2 = 2。如果以第二根木条为短板去寻找，可以找到整个区间，它对应的面积就是1 x 6 = 6。

因为我们只有n个木条，以每个木条为短板寻找最大矩形，那么我们一定可以找出最多n个矩形。最终的答案一定在这n个矩形当中，在正向思维当中我们寻找木条区间需要$O(n^2)$的复杂度，然而我们寻找短板，只需要$O(n)$，也就是说这种思路的搜索空间更小，只要我们保证搜索的效率，就可以更快地找到答案。

为了找到每个木条对应的最大矩形，我们需要找到每个短板向左以及向右能够延伸到的最远位置。比如上图例子当中，根据每个木条向右延伸的最远位置，我们可以得到[0, 5, 3, 3, 5, 5]，同样，我们可以得到每根木条向左延伸的数组：[0, 0, 2, 3, 2, 5]。有了这两个数组之后，我们就可以计算出以每一根木条为短板的最大矩形的面积，在这其中面积最大的那个就是答案。

这个位置我们可以使用单调栈来求，我们用一个有序的栈来维护延伸的位置。举个例子，我们用从栈底往栈顶递增的单调栈来维护每根木条向右延伸的位置。当我们遇到一根新的木条时，会弹出栈中所有比它长的值。对于这些值来说，这根新的木条就是它的右边界。比如[5, 6, 2]，一开始读到5，入栈。接着读到6，由于6大于栈顶的5，所以6入栈。最后读到2，由于2比6小，所以6出栈，对于6来说，2的位置就是它的右侧边界。正是由于2比它小，所以它才需要出栈，也说明了2的左侧的元素都比6来的大，否则6在之前就应该出栈了。同理，2也是5的右侧边界。

如果你不了解单调栈，可以参考一下之前的文章：

LeetCode42题，单调栈、构造法、two pointers，这道Hard题的解法这么多？

我们把以上的逻辑翻转，就得到了左侧边界求解的逻辑。左右边界有了之后，我们只需要乘上它们之间的区间长度就得到了矩形的面积。

接着，我们来写出代码：

class Solution:
    def largestRectangleArea(self, heights: List[int]) -> int:
        n = len(heights)
		# 左侧边界初始化为0
        left_side = [0 for i in range(n)]
        # 右侧边界初始化为n-1
        right_side = [n-1 for _ in range(n)]
        
        stack_left = []
        stack_right = []
        
        for i in range(n):
            h = heights[i]
            # 弹出栈中所有比当前元素小的值
            # 注意，栈内存储的是下标
            while len(stack_right) > 0 and h < heights[stack_right[-1]]:
                tail = stack_right[-1]
                stack_right.pop()
                right_side[tail] = i - 1
            
            # 当前元素入栈
            stack_right.append(i)
            
            # 把坐标翻转，等价于逆向遍历
            i_ = n - 1 - i
            h = heights[i_]
            
            # 维护单调栈的逻辑同上
            while len(stack_left) > 0 and h < heights[stack_left[-1]]:
                tail = stack_left[-1]
                stack_left.pop()
                left_side[tail] = i_ + 1
                
            # 当前元素入栈
            stack_left.append(i_)
                

        ret = 0
        for i in range(n):
            # 矩形面积等于右侧边界-左侧边界+1 x 高度
            cur = (right_side[i] - left_side[i] + 1) * heights[i]
            ret = max(ret, cur)
        return ret

总结

想要把这道题做出来，单单理清楚题意和单单会单调栈都是没有用的。既需要理清楚题意，从最简单的解法出发推导出优化的方法，也需要深刻理解单调栈这个数据结构，才可以灵活应用。

另外，在代码当中需要特别注意边界的情况。比如初始化时左右边界的设定，以及可能会出现连续相等元素的情况，这些都需要纳入考虑。代码虽然看起来简单，但是隐藏了很多细节，所以只看代码是没用的，最好还是能亲自实现一下。

今天的文章到这里就结束了，如果喜欢本文的话，请来一波素质三连，给我一点支持吧（关注、转发、点赞）。