CodeForces - 678D - Iterated Linear Function

题目描述：
Consider a linear function f(x) = Ax + B. Let’s define g(0)(x) = x and g(n)(x) = f(g(n - 1)(x)) for n > 0. For the given integer values A, B, n and x find the value of g(n)(x) modulo 109 + 7.

Input
The only line contains four integers A, B, n and x (1 ≤ A, B, x ≤ 109, 1 ≤ n ≤ 1018) — the parameters from the problem statement.

Note that the given value n can be too large, so you should use 64-bit integer type to store it. In C++ you can use the long long integer type and in Java you can use long integer type.

Output
Print the only integer s — the value g(n)(x) modulo 1e9 + 7.

Example
Input
3 4 1 1
Output
7
Input
3 4 2 1
Output
25
Input
3 4 3 1
Output
79

题意：
f(x) = Ax + B
g(0)(x) = x
g(n)(x) = f(g(n - 1)(x))
给了三个式子，求g的n次方模1e9 + 7的结果

解题思路：
只要代入求解就可以得到规律

从第二项起到最后一项，可以将B提出来，那么剩下的就是一个等比数列，可以利用等比数列求和公式。
因为等比数列公式求和有除法，那么取模需要特别注意。
重点内容

加法，减法，乘法取模就不说了，基础。

附AC代码：

# include 

using namespace std;

long long mod = 1000000007;

long long quick(long long a,long long b) //快速幂取模
{
    long long ans = 1;
    long long t = a % mod;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ans = ans * t % mod;
        }
        t = t * t % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
} 

int main()
{
    long long A,B,n,x;
    long long sum = 0;
    scanf("%lld %lld %lld %lld",&A,&B,&n,&x);

    if(A == 1)
    {
        printf("%lld\n",((n%mod*B)%mod+x)%mod); // 当A为 1 不可以取逆元
    }
    else
    {
    long long an = quick(A,n)%mod;
    sum =(an * (x%mod)) % mod;  //计算A的n次方乘x
    long long ni = quick(A-1,mod-2);  //计算A-1的逆元 ，因为等比数列求和分                 
    //                                   母是1-A，是负数，所以换一下
    sum = (sum % mod + (B%mod * (an-1)%mod * ni %mod) % mod) % mod;
    //  计算A的n次方乘x  加上  B *（等比数列求和）
    printf("%lld\n",sum);
    }
    return 0;
}