阶、原根、指标（离散对数）

define

自己习惯的一些定义，可能和其他地方不一样

$Or{d}_p(a)$：$a$在模$p$意义下的阶，念作$order$
$\varphi (p)$：$p$的欧拉函数值，念作$fai$
$Rt(p)$：模$p$意义下的原根，念作$root$
$I_r(a)$：模$p$意义下，$a$对原根$r$的指标(离散对数)，念作$index$

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阶

定义： 最小的$t$使得：$a^t\equiv 1(modp)$，则称$t$为$a$在模$p$下的阶（$(a,p)=1$），记作：$Or{d}_p(a)=t$

理解： $a\%p$下的阶$t$相当于$a\%p$的循环节，每乘上$a^t$，值不变。

知识： 欧拉定理有：$a^{\varphi (p)}\equiv 1$，所以有：$t|\varphi (p)$

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原根

定义： 若$Or{d}_p(a)=\varphi (p)$，则称这样的$a$为模数$p$的原根，记作$Rt(p)=a$

理解： 对于模数$p$，找到一些数$a$，满足$a$的次方循环节恰好为$\varphi (p)$，这些数就是$p$的原根

知识：

1. $a,a^2...a^{\varphi (p)}$恰好为$1\to p-1$中与$p$互质的数的一个排列，对应欧拉函数的定义
2. 若一个数有原根，则其有$\varphi (\varphi (n))$个原根
3. 根据二可知，一个有原根当且仅当为$1,2,4,p^Z,2p^Z(p素数,Z整数)$
4. $x^d\equiv 1(modp)$恰好有$d$个解$(d|(p-1))$

求解：

验证一个数$a$是否为$Rt(p)$，我们可以通过试除法。显然$a^{\varphi (p)}\equiv 1$，那么我们现在只需要证明最小循环节为$\varphi (p)$即可，而如果存在更小的循环节，则一定为$\varphi (p)$的因子。

所以我们枚举$\varphi (p)$的所有素因子$d$，看看$\varphi (p)/d$是否是循环节即可。

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指标（离散对数）

定义： 设$r$为$Rt(p)$，有$r^x\equiv n(modp)$，则称$x$为以$r$为底，$n$的离散对数，记作：$x=I_r(n)$

理解： 结合数学中的对数去理解会方便很多，很多地方都类似。唯一需要注意的是离散对数间的运算，模数需要转化为$\varphi (p)$。

知识：

1. $a\equiv b(modp)\leftrightarrow I_r(a)\equiv I_r(b)(mod\varphi (p))$（显然）
2. 类似与对数，可以进行乘法与加法的转换：$I_r(ab)\equiv I_r(a)+I_r(b)(mod\varphi (p))$

求解：

即求出$r^x\equiv n(modp)$。先枚举法求出$p$的原根$r$，再用BSGS算法求出以$r$为底的$n$的离散对数$x$。

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求奇素数P的最小原根

求出$P-1$的素因子，从$2$开始枚举$i$，判断是否存在$x=\frac{P-1}{d}(d|(P-1))\to i^x\equiv 1(modP)$

/*
 *  Author : Jk_Chen
 *    Date : 2019-08-20-18.53.11
 */
#include
using namespace std;
#define LL long long
#define rep(i,a,b) for(int i=(int)(a);i<=(int)(b);i++)
#define per(i,a,b) for(int i=(int)(a);i>=(int)(b);i--)
#define mmm(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define pb push_back
#define pill pair
const LL mod=1e9+7;
const int maxn=4e4+9;
LL rd(){ LL ans=0; char last=' ',ch=getchar();
    while(!(ch>='0' && ch<='9'))last=ch,ch=getchar();
    while(ch>='0' && ch<='9')ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();
    if(last=='-')ans=-ans; return ans;
}
/*_________________________________________________________head*/

int pri[maxn],ct;
bool vis[maxn];
void init(){
    rep(i,2,maxn-1){
        if(!vis[i])pri[++ct]=i;
        for(int j=1;j<=ct&&pri[j]*i<maxn;j++){
            vis[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0)break;
        }
    }
}

LL Pow(LL a,LL b,LL mod){
    LL res=1;
    while(b){
        if(b&1)res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

void get(int n,vector<int>&fac){
    n--;
    for(int i=1;i<=ct&&pri[i]<=n;i++){
        if(n%pri[i]==0)fac.push_back(pri[i]);
    }
}

int main(){
    init();
    int n;
    while(cin>>n){
        vector<int>fac;
        get(n,fac);
        for(int i=2;i<n;i++){
            int can=1;
            for(auto P:fac){
                if(Pow(i,(n-1)/P,n)==1){
                    can=0;break;
                }
            }
            if(can){
                printf("%d\n",i);
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}

求奇素数P的原根个数

根据定理，原根个数为$\varphi (\varphi (P))$，而素数$P$的欧拉函数值为$P-1$，所以求出$\varphi (P-1)$即可。

/*
 *  Author : Jk_Chen
 *    Date : 2019-08-20-18.53.11
 */
#include
#include
using namespace std;
#define LL long long
#define rep(i,a,b) for(int i=(int)(a);i<=(int)(b);i++)
#define per(i,a,b) for(int i=(int)(a);i>=(int)(b);i--)
#define mmm(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define pb push_back
#define pill pair
const LL mod=1e9+7;
const int maxn=65536;
LL rd(){ LL ans=0; char last=' ',ch=getchar();
    while(!(ch>='0' && ch<='9'))last=ch,ch=getchar();
    while(ch>='0' && ch<='9')ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();
    if(last=='-')ans=-ans; return ans;
}
/*_________________________________________________________head*/

int pri[maxn],ct;
bool vis[maxn];
int phi[maxn];
void Get_phi(){
    phi[1] = 1;
    for(int i=2; i<maxn; i++)   {
        if(!vis[i]) {
            pri[++ct] = i;
            phi[i] = i-1;
        }
        for(int j=1; j<=ct&&i*pri[j]<maxn; j++){
            vis[i*pri[j]] = 1;
            if(i%pri[j] == 0){
                phi[i*pri[j]] = pri[j] * phi[i];
                break;
            }
            else phi[i*pri[j]] = (pri[j]-1) * phi[i];
        }
    }
}

int main(){
    Get_phi();
    int n;
    while(cin>>n){
        printf("%d\n",phi[n-1]);
    }
    return 0;
}