NOIP2003-加分二叉树-dp-区间型动态规划

题目地址：https://vijos.org/p/1100

描述

设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（l,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：
subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数
若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；
（1）tree的最高加分
（2）tree的前序遍历

格式

输入格式

第1行：一个整数n（n＜30），为节点个数。

第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数＜100）。

输出格式

第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。

第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

样例1

样例输入1[复制]

5
5 7 1 2 10

样例输出1[复制]

145
3 1 2 4 5

限制

每个测试点1s

解题思路

题目已经给出了中序遍历，对于树结构，只要确定了根，就好办多了。于是我们枚举根节点，用f[i,j]表示i....j的最优加分，就有f[i,j]=max{f[i,k-1]*f[k+1,j]+a[k]}(i<=k<=j)   g[i,j]=a[k];(当f[i,j]更新时更新g[i,j])对于方案的记录，也应该是对应最优值求解时随着状态转移而确定下来的，所以相应也应该是一个二维的。输出的时候就递归输出，判断一下是不是最后一个就好了。

代码

#include
#include
using namespace std;
long long f[40][40];//从i到j，两个端点得到的最大值
int g[40][40];//从i到j，选哪个做根节点
long long a[40];
int sum=1;
int n;

//先序输出
void print(int l,int r)
{
    if (l > r) return;
    if(sum!=n)//最后一个不输出空格
        printf("%d ",g[l][r]);
    else
        printf("%d",g[l][r]);
    sum++;
    print(l,g[l][r]-1);
    print(g[l][r]+1,r);
}

int main()
{
    int i,j,k;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%I64d",&a[i]);
        f[i][i]=a[i];//没有叶子就是自己
        g[i][i]=i;
    }

    for(int len=2;len<=n;++len)//不管i，j表示什么含义，最外层循环一定是枚举长度
    {
        for(i=1;i<=n-len+1;++i)
        {
            j = i + len - 1;
            if (f[i][i]+f[i+1][j] >= f[i][j-1]+f[j][j])//没有左儿子
            {
                f[i][j] = f[i][i]+f[i+1][j];
                g[i][j] = i;
            }
            else if (f[i][i]+f[i+1][j] < f[i][j-1]+f[j][j])//没有右儿子
            {
                f[i][j] = f[i][j-1]+f[j][j];
                g[i][j] = j;
            }
            //左右儿子都有
            for(k=i+1;k<=j-1;++k)
            {
               if(f[i][j]