倍增法在线求LCA（详解）

先贴上学习的文章：

洛谷P3379题解1

倍增讲解

在用Tarjan算法求LCA时会出现超时的现象，因为是一层一层的往上跳，于是就有了用倍增法求LCA，是层地往上跳。复杂度：O(nlogn)

1.倍增法思想：

按2的倍数跳，不过是从大到小跳，32,16,8,4,2,1。原因是从小到大跳会出现“悔棋”的现象：

从小到大：5!=1+2+4

从大到小：5=4+1

5<32 （不跳）

5<16（不跳）

5<8（不跳）

5>=4（向上跳4格到1）

1<2（不跳）

1>=1（向上跳1格到0）

2.算法解析：

step1：预处理

目标：

1. 在dfs的时候求出每个节点的深度。
2. 求出fa[x][i]:=x节点向上跳层后在哪个节点上，这里要注意，节点可能向上跳地太猛了，以至于都跳出了根节点，这种对我们做题没有意义，所以只要求出向上跳的最大层数（也就是节点深度dep[x]）就可以啦~

可知：fa[x][0]=x的父节点

          fa[x][1]=fa[x的父节点][0]=fa[fa[x][0]][0]

          fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1]

原因是：比如向上跳=8层：

当前i节点向上跳8/2=4=层，到达点j

再由j节点向上跳8/2=4=层，到达目的节点。（一共跳了层）

void dfs(int now,int pre){
    dep[now]=dep[pre]+1;
    vis[now]=1;
    fa[now][0]=pre;
    for(int i=1;(1<

step2：常数优化

节点n向上跳的范围是[1,log2(n)]

for(int i=1;i<=n;i++){//求出log2(i)+1的值
    lg[i]=lg[i-1]+(1<

可以模拟一下：

lg[1]=0+(1==1)=1

lg[2]=1+(1==1)=2

lg[3]=2+(4==3)=2

lg[4]=2+(4==4)=3

这里为什么用递推公式求log2(i)+1，而不用cmath里的函数求log2(i)，原因是：

log是以e为底数， log10是以10为底数

求log2(i)，则：log(i)/log(2)速度慢，不如求出log2(i)+1的值存在lg[i]数组里，需要的时候用lg[i]-1

step3：倍增LCA

有了上两步的铺垫，现在就好求多了。

求倍增LCA的思想是：

1. 先把两个点提到统一高度，再一起跳。
2. 向上跳也是有原则的：要跳到LCA的下面一层。然后该层对应节点的父节点就是要求的LCA

比如节点7和9,9先跳到8，此时和7是同一层，若是跳地太多到1，就会错认为1是LCA

正确的是7->4   9->8->5

fa[4][0]或fa[5][0]=3就是答案

int lca(int x,int y){
    if(dep[x]dep[y]){
        x=fa[x][lg[dep[x]-dep[y]]-1];
    }
    if(x==y)return x;
    for(int k=lg[dep[x]];k>=0;k--){
        if(fa[x][k]!=fa[y][k]){
            x=fa[x][k];
            y=fa[y][k];
        }
    }
    return fa[x][0];
}

完结撒花✿✿ヽ(°▽°)ノ✿

上一道模板题：

hdu2874

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