CF1204E Natasha, Sasha and the Prefix Sums（动态规划+组合数）

CF1204E Natasha, Sasha and the Prefix Sums

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题意

给出n,m，

n个1和m个-1组成（comb[n+m][n]个）数列

对所有数列的最大前缀和求和

最大前缀和最小是0

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思路

动态规划

• 状态：dp[n][m]表示由n个1和m个-1组成数列的前缀和总和
• 状态转移方程：$dp[i][j]=(dp[i-1][j]+comb[i+j-1][j])+(dp[i][j-1]+(comb[i+j-1][i]-前缀和为0的))$
  • i个1和j个-1可以由i-1个1和j个-1在前端加个1得到，显然前端加一使得每个数列前缀和加了1
  • i个1和j个-1可以由i个1和j-1个-1在前端加个-1得到，显然前端减一使得每个数列前缀和减1，除了最大前缀和为0的

最大前缀和为0的个数

• 状态：dp[n][m]表示n个1和m个-1组成数列的最大前缀和为0的个数
• 状态转移方程：$dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1](i\le j)$
  • $dp[0][i]=1(1\le i)$
  • $dp[i][j]=0(i>j)$
  • i个1和j个-1可以由i-1个1和j个-1在后端加个1得到，由于$i\le j$，即使加1最大前缀和为0
  • i个1和j个-1可以由i个1和j-1个-1在后端加个-1得到，显然后端减一最大前缀和为0

最大前缀和为0的个数

转化为网格和组合数问题

证明链接

• 相当于(0,0)到(n,m)的路径不经过y=x，即路径一直保持在矩阵上三角（包括对角线）

• 反向思考：所有路径comb[n+m][n]减去不合法路径

  • 若存在穿过y=x的路径，将第一个犯规的路径关于y=x对称，剩余路径按序衔接
  • 那么y-1，x+1终点改为(n+1,m-1)，方案数为comb[n+m][m-1]

• i个1和j个-1中最大前缀和为0的情况为comb[i+j][j]-comb[i+j][j-1]

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代码

预处理组合数和最大前缀和为0的个数

void init() {
	for (int i = 0; i < maxn; i++) comb[i][0] = comb[i][i] = 1;
	for (int i = 2; i < maxn; i++) for (int j = 1; j < i; j++) 
		comb[i][j] = (comb[i - 1][j - 1] + comb[i - 1][j]) % mod;
	for (int i = 1; i < maxn / 2; i++) p[0][i] = 1;
	for (int i = 1; i < maxn / 2; i++) 	for (int j = i; j < maxn / 2; j++)
		p[i][j] = (p[i - 1][j] + p[i][j - 1]) % mod;
}

DP

for (int i = 1; i <= n; i++) dp[i][0] = i;
for (int i = 1; i <= n; i++)
	for (int j = 1; j <= m; j++)
		dp[i][j] = max(dp[i][j],
		               ((dp[i - 1][j] + comb[i + j - 1][j]) % mod +
                        (dp[i][j - 1] - (comb[i + j - 1][i] - (i <= j - 1 ? (comb[i + j - 1][i] - comb[i + j - 1][i - 1]) : 0)))% mod) % mod + mod) % mod);
		               //((dp[i][j - 1] - comb[i + j - 1][i] + p[i][j - 1]) % mod + mod) % mod) % mod);

AC

#pragma warning (disable:4996)
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int maxn = 4005;
const int mod = 998244853;
int comb[maxn][maxn], p[maxn >> 1][maxn >> 1];
void init() {
	for (int i = 0; i < maxn; i++) comb[i][0] = comb[i][i] = 1;
	for (int i = 2; i < maxn; i++) for (int j = 1; j < i; j++) 
		comb[i][j] = (comb[i - 1][j - 1] + comb[i - 1][j]) % mod;
	for (int i = 1; i < maxn / 2; i++) p[0][i] = 1;
	for (int i = 1; i < maxn / 2; i++) 	for (int j = i; j < maxn / 2; j++)
		p[i][j] = (p[i - 1][j] + p[i][j - 1]) % mod;
}
int dp[maxn >> 1][maxn >> 1];
int main() {
	init();
	int n, m; scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++) dp[i][0] = i;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++)
			dp[i][j] = max(dp[i][j],
			((dp[i - 1][j] + comb[i + j - 1][j]) % mod +
				((dp[i][j - 1] - comb[i + j - 1][i] + p[i][j - 1]) % mod + mod) % mod) % mod);
	printf("%d\n", dp[n][m]);
}