2019-2020 ICPC 南昌现场赛 M：XOR Sum【拉格朗日插值】

题目：

2019-2020 ICPC 南昌现场赛 M：XOR Sum

题意：

定义 $f(i,k)=1⨁2⨁3⨁......⨁i^k-1⨁i^k$，求 ${\sum }_{k=1}^t{\sum }_{i=x}^{y}f(i,k)$ 模 $1e9+7$ 的结果

分析：

若 $x$ 是偶数，则 $x⨁x+1=1$，$x⨁x+1⨁x+2⨁x+3=0$，所以有：
$$f(i,k)=\{\begin{array}{ll}& i^k\text{(}{i}^{k}mod4=0)\\ & 1\text{(}{i}^{k}mod4=1)\\ & i^k+1\text{(}{i}^{k}mod4=2)\\ & 0\text{(}{i}^{k}mod4=3)\end{array}$$
题目所求化简为两类：$$\sum _{k=1}^t\sum _{i=x}^y{i}^k[i^{k}mod4=0or2]+\sum _{k=1}^t\sum _{i=x}^y[i^{k}mod4=1or2]$$
第一类：发现当且仅当 $i$ 为偶数时，$i^{k}mod4=0or2$，那么得到:
$$\sum _{k=1}^t\sum _{i=x}^y{i}^k[i^{k}mod4=0or2]=\sum _{k=1}^t{2}^k\sum _{i=\lfloor \frac{x+1}{2}\rfloor }^{\lfloor \frac{y}{2}\rfloor }{i}^k$$
这个是可以枚举 $k$ ，拉格朗日插值算幂次和，复杂度为 $O(t^2)$，显然是跑不过的，更换枚举项看看？？$$\sum _{k=1}^t{2}^k\sum _{i=\lfloor \frac{x+1}{2}\rfloor }^{\lfloor \frac{y}{2}\rfloor }{i}^k=\sum _{i=\lfloor \frac{x+1}{2}\rfloor }^{\lfloor \frac{y}{2}\rfloor }\sum _{k=1}^t(2i{)}^k$$
设 $g(i)={\sum }_{k=1}^t{i}^k$，$S(x)={\sum }_{i=0}^{x}g(i)$，$S(x)$ 就是一个最高次为 $t+1$ 的多项式，和 南昌网络赛B：Polynomial 差不多，最后的答案就是 $S(\lfloor \frac{y}{2}\rfloor )-S(\lfloor \frac{x+1}{2}\rfloor )$，拉格朗日插值直接算即可
第二类： $imod4=2$ 时，$k=1$ 才会有贡献；$imod4=3$ 时，$k$ 为偶数时才有 $i^{k}mod4=1$；$imod4=1$ 时，$k$ 取任意值都有贡献，这部分都可以$O(1)$计算

代码：

#include 
 
#define x first
#define y second
#define pii pair
#define sz(x) (int)(x).size()
#define Max(x,y) (x)>(y)?(x):(y)
#define Min(x,y) (x)<(y)?(x):(y)
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod = 1e9+7;
const int maxn = 1e6+16;
LL per[maxn],suf[maxn],fac[maxn],S[maxn];
LL qpow(LL a,LL x,LL mod){
    LL res = 1ll;
    while(x){
        if(x&1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        x >>= 1;
    }
    return res;
}
//预处理阶乘的逆元
void init1(int n,int mod){             
    LL res = 1;
    for(int i = 1;i <= n+2; ++i) res = res*i%mod;
    fac[n+2] = qpow(res,mod-2,mod);
    for(int i = n+1;i >= 0; --i) fac[i] = (i+1)*fac[i+1]%mod;
}
//给定最高次为n的多项式的n+1个点分别为：(0,f0),(1,f1),(2,f2)...(n,fn),求f(k)的值
LL Lagrange(LL f[],int n,LL k){                   
    if(k <= n) return f[k];
    per[0] = suf[n+1] = 1;
    for(int i = 0;i <= n; ++i) per[i+1] = (k-i)%mod*per[i]%mod;
    for(int i = n;i >= 0; --i) suf[i] = (k-i)%mod*suf[i+1]%mod;
    LL fk = 0;
    for(int i = 0;i <= n; ++i){
        LL tep = f[i]*per[i]%mod*suf[i+1]%mod*fac[i]%mod*fac[n-i]%mod;
        if((n-i)&1) fk = (fk-tep+mod)%mod;
        else fk = (fk+tep)%mod; 
    }
    return fk;
}
//计算 [L,R] 有多少个数 mod 4 == a
LL cal(LL L,LL R,int a){
    LL sum1 = (R-a)/4;
    if(R >= a) sum1++;
    LL sum2 = (L-1-a)/4;
    if(L-1 >= a) sum2++;
    return (sum1-sum2)%mod;
}
LL solve(LL t,LL x,LL y){
    LL ans = Lagrange(S,t+1,y/2)-Lagrange(S,t+1,(x+1)/2-1)+mod;
    ans += cal(x,y,2);
    ans += t*cal(x,y,1);
    ans += t/2*cal(x,y,3);
    return ans % mod;
}
int main(){
    LL t,x,y;
    cin >> t >> x >> y;
    init1(t+5,mod);
    for(int i = 1;i <= t+1; ++i){
        S[i] = (qpow(2*i,t+1,mod)-2*i+mod)*qpow(2*i-1,mod-2,mod)%mod+S[i-1];
        if(S[i] >= mod) S[i] -= mod;
    }
    cout << solve(t,x,y) << '\n';
    return 0;
}