POJ2409 Let it Bead【Polya定理】

题目链接:

http://poj.org/problem?id=2409


题目大意:

给定M种颜色的珠子,每种颜色珠子的个数均不限,将这些珠子做成长度为N的项链。

问能做成多少种不重复的项链,最后的结果不会超过int类型数据的表示范围。并且两

条项链相同,当且仅当两条项链通过旋转或是翻转后能重合在一起,且对应珠子的颜

色相同。


解题思路:

Polya定理的应用。先来看Polya定理。

Polya定理:设 G = {a1,a2,…,ag}是 N 个对象的置换群,用 M 种颜色给这 N 个

对象着色,则不同的着色 方案数为:

                  |G|^(-1) * {M^c(a1) + M^c(a2) + … + M^c(ag)}。

其中 c(ai)为置换 ai 的循环节数,( i = 1,2,…,g )。

对于这道题,直接用Polya定理求解,找出所有的置换,并求出置换的循环节数。然后

根据上边公式求出 M^c(ai) 的总和,再除以置换群个数。

题中有两种置换方式:

1.旋转置换。分别顺时针旋转 i 个珠子,其循环节长度为 LCM(N,i) / i,循环节数为

N / (LCM(N,i) / i),即 GCD(N,i)。

2.翻转置换。根据 N 的奇偶性分情况讨论。

N为奇数时:

       以第 i 个珠子为顶点和中心翻转,翻转后,第 i 个珠子保持不变,其余珠子两两相

互对换,因为有 N 个珠子,所以有 N 种翻转置换,每种翻转循环节数为 (N+1) / 2。

N为偶数时,有两种翻转方式:

      以两边相对的两个珠子为轴和中心翻转,翻转后,这两个珠子保持不变,其余珠子

两两相互对换,共有 N/2 种翻转置换,每种翻转循环节数为 (N+2) / 2。

      以相邻的珠子中间连线为轴和中心翻转,翻转后,所有珠子两两相互对换,共有 N/2

种翻转置换,每种翻转循环节数为 N/2。

然后根据Polya定理的公式和上述所求求出结果。


AC代码:

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

int M,N;

int GCD(int a,int b)
{
    if(b == 0)
        return a;
    return GCD(b,a%b);
}

int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&M,&N) && (M||N))
    {
        int sum = 0;
        for(int i = 1; i <= N; ++i)
        {
            int tmp = GCD(N,i);
            sum += (int)(pow(M*1.0,tmp*1.0));
        }
        if(N & 1)
            sum += (int)(N * pow(M*1.0, (N+1)/2.0));
        else
        {
            sum += (int)((N/2) * pow(M*1.0, (N+2)/2.0));
            sum += (int)((N/2) * pow(M*1.0, N/2.0));
        }
        sum = sum/(2*N);
        printf("%d\n",sum);
    }

    return 0;
}


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