MST与贪心策略

定理

• 割中最轻边（唯一）必在某个（全部）MST中（利用此结论可完成对Prim与Kruskal的证明）
• 圈中最重边（唯一）必不在某个（全部）MST中
  • 证明:若在MST中，则去掉e后，MST被划分为X-Y，再取圈中另一可链接X-Y的边，加入MST中，立得一个更小的MST
• 若所有圈/割的最重/轻边唯一 $\Rightarrow$ MST唯一,反之不成立
  • 证明即添加/删除最轻/重边，之后在证明这样构成的图是一棵树即可（容易证得连通无环）
• (*)向一棵MST中任意加一边e，必构成一圈且e是圈中最大权。

Prim算法

• 算法描述：
  • 记已选中点集为T,未选中点集为S，迭代的加入T-S距离最小的边
• 正确性证明：
  • 法一
  • 只需证明任何一轮的生成树都满足(*)性质即可
  • 假设$T_{k-1}满足(\ast )性质，下证T_k也满足(\ast )性质$
    • 向$T_k中加入一边e，若e在T_{k-1}中，则命题成立，若e不在T_{k-1}$中：
    • 则假定e不是圈中最大边，分别沿圈顺逆时针找到第一个大于e的两边e1,e2
    • 可以证明若Prim算法在之前先选择了e1,则接下来一定会先于e2选择e
    • 这与现在的G结构矛盾
    • 命题得证
  • 综上，Prim算法正确
  • 法二
  • 只需证明任何一个新加入的边都满足割中最小边即可（最后补证是树即可）
  • 显然，命题得证。（hhhhhh忘了这茬，我傻了）
• 复杂度分析：
  • $\mathrm{O}（(n+m)logn）$

Kruskal算法

• 算法描述：
  • 边排序，按序加边，并查集查环，无环则加
• 复杂度分析：$\mathrm{O}(mlogm)$

Dijkstra框架

• 证明相关
  • 数学归纳法：
    • 对Dijkstra的n的阶段进行数学归纳法证明，其中，第k个阶段表示从s到k个顶点的最短路都已确定
    • base:s到其自身的最短路长为0，显然成立
    • 若对于$\le k均成立：$那么对于新被选中的第k+1个点z，我们设已经被选中的k个顶点构成点集S，则被选中路径经由S中一点m,我们需要证明其最短路就是我们选中的s->m->z：
    • 若不是s->m->z，
      • 假设经由S内另一点m2，使得s->m2->z小于s->m->z，但算法选中的是经由S中一点到达z最短的路径，所以这样的m2不存在
      • 假设经由S外一点m2使得s->m2->z小于s->m->z，但s->m2必然经由S内一点出去，记出边为e，则因为算法选中的是最短的，所以s->e大于s->m->z，而e->m2->z又大于等于0，所以s->e->m2->z大于等于s->m->z，矛盾
    • 所以，我们选中的z点正确。
    • 综上，Dijkstra框架证毕
  • 副产品：若从s点出发的边都是负权，则Disktra仍然实用（前提是无负圈）
  • 算法复杂度：$\mathrm{O}((m+n)logn)3$

综合应用：

• 输油管道问题
• 附带点权最小问题
• 油箱加油问题:$w(v)=max(w(u),w(u,v))$
• DAG求最短路：转置后拓扑排序即可

约定

• 考试不考非图贪心
• 贪心按照题意来即可，不必证明其正确性。