高数复习（2）--方向导数与梯度的理解 附根据梯度求轨迹的基本模型

（非证明，仅供理解）

---------------------------公式-----------------------------

方向导数：
其中 l 是给定的一个射线的方向向量，(cosα)i+(cosβ)j+(cosγ)k构成其方向余弦

梯度：
是一个向量表达式，对于不同的( x , y , z )总是指向增量最大的方向

---------------------------理解-----------------------------

方向导数：
放在空间坐标系中的曲面 z = f( x , y ) 上理解

在 l 方向上这个曲面的变化量直接算当然很难，
但是可以把这个方向向量正交分解到x轴和y轴

计算出在x轴、y轴上变化了多少(也就是对x、y的偏导)，然后进行一定比例的叠加
这个叠加比例就是此方向向量的方向余弦余弦

梯度：
也是基于前一点的理解，方向导数的式子可以等价为向量的点乘：

在确定了曲面上某点后，前者是不变的，后者是任意方向的方向余弦，
因此后者不断变化，当两个向量方向一致的时候，整个乘积最大

此时的后者就是前者的方向余弦，因此直接把前者拿出来，定义它叫做梯度

（然后不断在脑子里强调，这个就是曲面此点增量最大的方向）

---------------------------总结-----------------------------

其实式子都很简单直接背都可以，但是从几何上知道它的直观体现还是很有帮助的

---------------------------经典题型-----------------------------

因此根据梯度求轨迹，实际上设某轨迹的每点切向( dx , dy ) 与梯度 ( fx’ , fy’ ) 平行，
化为代数表达式也就是 dx/dy = fx’/fy’
求微分方程就可以了

这里可能会规定这个轨迹过哪个点，决定了微分方程的常数
它代表着一个柱面(xOy平面的曲线沿z轴生成)，与原来的曲面联立就是空间的曲线了